Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
EomAig(GL(2), A) ^GL2(A) и EomAlg(SL(2), A) ^ SL2(A), (5.1) отображающие гомоморфизм f в матрицу
/(«) № ї(с) f(d)
Доказательство. Мы рассмотрим только случай GL(2). Для SL(2)
рассуждение аналогично. Пусть ^ ° ^ ^ — матрица из GL2(A). Так
как алгебра А коммутативна, существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр / : M(2)[t] -» А такой, что
f(a) = a, f(b) = ?, f(c) = 7, f(d) = 6 и f (t) = (аб - ?j)'1.
Далее,
f((ad - bc)t - 1)) = (f(a)f(d) - f(b)f(c))f(t) - /(1) = = (ad - ?j)(ao - ?j)'1 - 1 = = 0.
Это означает, что гомоморфизм / факторизуется до отображения алгебры GL(2). Завершение доказательства не вызывает затруднений. ? 14
Глава 1. Предварительные сведения
Следующая лемма получается прямым вычислением для гомоморфизма Д из предложения 4.1.
Лемма 1.5.2. Имеет место равенство A(ad-bc) = (a'd' — b'c')(a"d" — — b"c").
Теперь мы выразим групповые структуры на GL2(A) и SL2(A) в терминах алгебр GL(2) и SL(2). Рассмотрим коммутативные алгебры
GL(2)®2 = M(2)®2[t',t"]/((a'd' - b'c')t' - 1, (a"d" - b"c")t" - 1)
и
SL( 2)®2 = GL(2)®2 / (t' -l,t" — I) = M(2)®2 / (a'd' — b'c' — 1, a"d" — b"c" — 1).
Предложение 1.5.3. Формулы из предложения 4.1 определяют гомоморфизмы алгебр
Д : GL(2) GL(2)®2 и Д : SL(2) 5L(2)®2.
Доказательство. Формулы из предложения 4.1 будут определять гомоморфизм из алгебры M(2)[t] в GL(2)®2, если положить A(t) = t't". Чтобы показать, что Д факторизуется до отображения GL(2), достаточно проверить, что A((ad — bc)t — 1) обращается в 0. Но действительно, из леммы 5.2 и по определению алгебры GL(2)®2 мы имеем
Д(И - bc)t - 1) = (a'd! - b'c')(a"d" - b"c")t't" - 1 -= 1-1-1 = 0.
Для SL(2) доказательство аналогично. ?
В параграфе 4 мы проверили, что отображение Д соответствует матричному умножению при отождествлениях, рассмотренных выше. Теперь мы введем отображения алгебр
є: GL(2) —> к и ?: SL(2) —> k,
соответствующие единицам групп GL2(A) и SL2(A), а также гомоморфизмы
S: GL(2)GL(2) и S: SL(2) SL(2), 1.6. Градуированные алгебры и алгебры с фильтрацией
15
отвечающие операции взятия обратного элемента в тех же группах. Этй отображения определяются формулами
є(а) = e(d) = e(t) = 1, є(Ь) = є (с) = О,
5(a) = (ad - bc)~l d, S(b) = -{ad - bc)'1 b,
S(c) = -(ad - bc)'1 c, S(d) = (ad - bc)'1 a,
и S(t) = t~l = ad — bc. Мы перепишем их в более компактной и ясной форме:
-CJMi!) -'(:!М—
(5.2)
1.6. Градуированные алгебры и алгебры с фильтрацией
Оставшиеся параграфы этой главы будут посвящены некоторым понятиям теории колец.
Определение 1.6.1. Алгебра А называется градуированной, если в ней выбраны подпространства (Ai)^z+ такие, что
А = ^^ Ai и Ai ¦ Aj С Ai+j iez+
ДЛЯ всех i,j Є Z+. Про элементы ИЗ Ai говорят, что они однородны и имеют степень І.
Мы всегда предполагаем, что единица 1 градуированной алгебры принадлежит Ao-
Пример 1. Свободные алгебры градуируются длиной слов, то есть подпространство Ai алгебры А = к{Х} определяется как подпространство, порожденное мономами степени і. Элементы множества X имеют степень 1. 16
Глава 1. Предварительные сведения
Предложение 1.6.2. Пусть А = фі>0 Ai — градуированная алгебра, I — ее некоторый двусторонний идеал, порожденный однородными элементами. Тогда
I = QlHAl
г^О
и фактор-алгебра А/1 градуирована: (AfI)i = Ai/(I П Ai) для всех і.
Доказательство. Достаточно показать, что I = ($і>йІ Г] Ai. Для начала заметим, что эта сумма обязана быть прямой, так как пространства Ai образуют прямую сумму. Следовательно, остается лишь проверить, что I = Dl>0 1Идеал I порожден элементами Xi степени di. Поэтому если x 6 /, то
X = ^ аіхФі
г
для некоторых аг, Ьг є А. Далее, аг = Yj ^nbi = Yj K^ гДе аї и fji — однородные элементы степени j. Отсюда следует, что
есть сумма однородных элементов идеала I степени di +j + к. Это означает, что I есть подпространство в I П Ai. Обратное включение очевидно. ?
Пример 2. Алгебра многочленов к[жі,... ,хп] градуирована как фактор-алгебра свободной алгебры A = k{xi,... , хп} (градуированной как в примере 1) по идеалу I, порожденному однородными элементами XiXj — XjXi степени 2, где inj пробегают все целые числа от 1 до п. Образующие х\,... ,хп имеют степень 1.
Алгебры М(2) и М(2)®2 из параграфа 4 градуированы как алгебры многочленов. Однако идеалы, задающие алгебры GL(2) и SL(2), не порождаются однородными элементами. Хотя GL(2) и SL(2) не градуированы, они являются алгебрами с фильтрацией в смысле следующего определения. 1.6. Градуированные алгебры и алгебры с фильтрацией
17
Определение 1.6.3. Алгебра А называется алгеброй с фильтрацией, если выбрана возрастающая последовательность {0} С Fq(A) С ... С С Fi(A) С ... С А подпространств в А такая, что
A = IjFl(A) и Fi(A) • Fj(A) С Fi+j(A).
г^О
Про элементы из Fi(A) говорят, что они имеют степень ^ І.
По любой алгебре с фильтрацией А можно построить градуированную алгебру S = gr(A), определенную следующим образом:
Si = Fi(A)/Fi^1(A).
Приведем несколько примеров алгебр с фильтрацией.
