Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
HomAJg(k [хи... ,хп], A) ^ An. (3.1) 10
Глава 1. Предварительные сведения
Рассмотрим (3.1) в специальном случае n = 1. Элементы произвольной коммутативной алгебры А находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества Hom^g(к[ж], А):
Homj4jg(к[z], A) 9< А. (3.2)
Алгебра к[ж] называется аффинной прямой, a Homj4jg(к[я], А) — множеством ее А-точек. Относительно сложения алгебра А имеет структуру абелевой группы. Мы хотим выразить этот факт универсальным языком, используя аффинную прямую к [ж]. Структура абелевой группы на А включает в себя три отображения, а именно: сложение +: A2 —> А, нуль О: {0} -> А и взятие обратного элемента — : А -> А, удовлетворяющие известным аксиомам, которые выражают тот факт, что сложение ассоциативно и коммутативно, что 0 является левой и правой единицей группы, и что
(—а) + а = а-(- (—а) - О
для всех а Є А. Эти законы не зависят от конкретного выбора коммутативной алгебры А. Поэтому их можно выразить универсальным образом.
Для этого введем аффинную плоскость к[х', х"] вместе с биекцией
HomAjg(Ця', x"]i А) =? А2, (3.3)
полученной из (3.1) при п = 2. Элементы из Horn4/g(k[x', х"], А) назовем А-точками аффинной плоскости. Множество HomAJg(k, А) состоит из одной точки — гомоморфизма т/а, переводящего 1 Є к в единицу алгебры А.
Предложение 1.3.2. Пусть Д: kfz] k[x',x"], є: к [ж] ->• к, S: к[х] -* к[х] — гомоморфизмы алгебр, заданные формулами
А(х) = х' + х", е{х) = 0, S{x) = -X.
При отождествлениях (3.2), (3.3) гомоморфизмы А, є и S переходят в отображения +,Ou- соответственно.
Доказательство оставляется читателю.
? 1.3. Аффинная прямая и аффинная плоскость
11
Гомоморфизмы А, є и S подчиняются соотношениям, выражающим ассоциативность, коммутативность, аксиомы единицы и обратного элемента абелевой группы. Они порождают на аффинной прямой к [ж] то, что в главе 3 будет названо структурой кокоммутативной алгебры Хопфа.
Чтобы лучше проиллюстрировать понятие, которое мы только что упомянули, дадим другой пример. Для произвольной алгебры А обозначим через Ax группу обратимых элементов алгебры А. Мы представим множество Ax с помощью гомоморфизмов алгебры, как это делалось выше. Рассмотрим идеал I алгебры к[ж,у], порожденный элементом ху — 1. Для произвольной коммутативной алгебры А имеем
HomA;g(k [х,у]/1,А)^Ах. (3.4)
Множество {xk}keZ образует линейный базис в алгебре к[х,у)/1. Мы обозначаем эту алгебру через к [ж, ж-1]; это — алгебра лорановских многочленов от одной переменной. Аналогично определяется алгебра
к{х\х",х'-\х"-1} = к[х',у',х",у"}/(х'у' - 1,ж"у" - 1) лорановских многочленов от двух переменных. Имеет место биекция
EomAIg{k[x',x'-l1x",x"-1],A)^Ax х Ax. (3.5)
Определим гомоморфизмы алгебр
А: к[ж,ж-1] к[ж',ж'-1,ж",ж"-1], є: к^.ж^1] к, S: к[ж, ж-1] к[ж,ж-1]
по формулам:
Д(ж) = ж'ж", е(х) = 1, S( х) = ж"1. (3.6)
Тогда гомоморфизмы Д, є и S отвечают при отождествлениях (3.4) и (3.5) умножению в Ax, единице 1 и взятию обратного элемента соответственно. Здесь снова гомоморфизмы Д, є и S задают на к[ж,ж-1] структуру кокоммутативной алгебры Хопфа. 12
Глава 1. Предварительные сведения
1.4. Матричное умножение
Для произвольной алгебры А обозначим через M2(A) алгебру 2х2-мат-риц с элементами из А. Как множество, M2(A) биективно множеству A4 четверок элементов А. Согласно (3.1) для любой коммутативной алгебры А мы имеем естественную биекцию
HomAJg(M(2), A) = M2(A), (4.1)
где M(2) — алгебра многочленов к[а, Ь, с, d\. Эта биекция сопоставляет гомоморфизму алгебр /: М(2) А матрицу
(№ т \ V № № J '
Умножение матриц есть отображение M2(A) х M2(A) —> M2(A), которое мы хотим представить универсальным образом с помощью M(2) в духе параграфа 3. Множество M2(A) х M2(A) биективно А8, поэтому мы введем алгебру многочленов
Af (2)®2 = k [a',a",b',b",c',c",d',d"]. (4.2)
Предложение 1.4.1. Пусть A: M(2) —> М(2)®2 — гомоморфизм алгебр, заданный формулами:
А(а) = a'a" + b'c", A(b) = а'Ь" + b'd",
А(с) = с'a" + d'c", A(d) = c'b" + d'd".
Тогда для произвольной коммутативной алгебры А гомоморфизм А соответствует матричному умножению в M2(A) при отождествлениях (4.1), (4.2).
Доказательство этого утверждения очевидно и оставляется читателю. Формулы, определяющие Д в предложении 4.1, удобно переписать в компактной матричной форме:
(a b\_(A(a) А(Ь)\_(а' b' \ ( a" b" \
aV^ d )~\ д(с) Md) )'\с d! ) V С" d" J ¦ l4'dJ 1.5. Детерминанты и обратимые матрицы
13
1.5. Детерминанты и обратимые матрицы
Мы сохраняем обозначения из предыдущего параграфа. Рассмотрим группу GL2(A) обратимых элементов матричной алгебры M2(A). Если алгебра А коммутативна, то мы знаем, что обратимыми являются те и только те матрицы, определитель которых обратим в А:
GL2(A) = {[ ° ?s ) Є M2(A)
аб - ?j є ay
Определим SL2(A) как подгруппу в GL2(A), состоящую из матриц с детерминантом ao — ?j = 1.
Предложение 1.5.1. Введем коммутативные алгебры GL(2) = M(2)[t}/((ad - bc)t - 1)
SX (2) = GL(2)/(t - 1) = M (2)/(ad -be- 1). Тогда для любой коммутативной алгебры А имеются биекции
