Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
У
узел (knot) 303
сингулярный (singular knot) 605
— оснащенный (framed singular knot) 606 тривиальный (trivial knot) 305, 390
уравнение
^-разностное (^-difference equation) 116
Янга-Бакстера (Yang-Baxter equation) 211,216, 224, 226, 234, 240, 248, 250, 293, 330, 382, 389, 397, 492, 522 уравнения Книжника-Замолодчикова (Knizhnik-Zamolodchikov equations) 475, 561,
569, 587, 599 условие
ассоциативности (associativity constraint) 351, 457, 469, 576, 626 коммутативности (commutativity constraint) 393 условия левой и правой единиц (left and right unit constraints) 351, 395, 457
Ф
фактор-коалгебра (quotient-coalgebra) 55
^-факториал (^-factorial) 95
форма
вещественная комплексной алгебры Ли (real form of a complex Lie algebra) 153
дифференциальная (differential form) 562, 600 Киллинга (Killing form) 504, 506
і?-форма универсальная (universal Д-form) 233, 234, 241, 246-248, 454 формула
^-биномиальная (^-binomial formula) 96 Клебша-Гордана (Clebsch-Gordan formula) 135 Лейбница (Leibnitz formula) 26
^-формула Чу-Вандермонда (g-Chu-Van-dermonde formula) 97 функтор (functor) 344
вполне точный (fully faithful functor) 346
ленточный (ribbon functor) 633 переставляющий (flip functor) 393 присоединенный (adjoint functor) 348, 365, 499 существенно сюръективный (essentially suijective functor) 346 тензорный (tensor functor) 358, 466
— сплетенный (braided tensor functor) 410, 413
— строгий (strict tensor functor) 359, 382, 390, 446 точный (faithful functor) 346 ц
центр (centre) 4, 115, 128, 150, 167, 169, 172, 178, 229, 504, 512, 514, 538, 631 тензорной категории (centre of a tensor category) 413, 417, 423, 456
Э
эквивалентность
категорий (equivalence of categories) 345 тензорная сплетенная (braided tensor equivalence) 467, 576 ^-экспонента (^-exponential) 97, 116 элемент
в (element в) 512 t (element t) 505, 569, 575, 576 и (element и) 227, 230, 512 групповой (grouplike element) 72, 365 Казимира (Casimir element) 128, 132, 504, 514, 534, 576, 622 — квантовый (quantum Casimir element) 167, 178, 183, 514 примитивный (primitive element) 62, 153, 494, 557, 619, 621, 634 центральный (central element) 631 эндоморфизм (endomorphism) 343 Предисловие редактора перевода
В современном здании математики квантовые группы занимают видное место. Этому во многом способствует интенсивное расширение взаимосвязей с теоретической физикой в последние 30 лет. Концентрированное изложение математических достижений, обязанных идеям, пришедшим из физики, особенно из квантовой теории поля, можно найти в сборнике избранных докладов Международного математического конгресса в Киото [14]. Примечательно, что на этом конгрессе сразу три математика — Владимир Дринфельд, Воэн Джонс и Эдвард Виттен, а позднее Максим Концевич на Международном конгрессе в Берлине (1998 г.) были удостоены Филдсовских медалей в основном за такие достижения.
Под именем «квантовые группы» В. Г. Дринфельд ввел новый класс алгебр Хопфа, обеспечивающий решение известного в физике уравнения Янга-Бакстера. Работы В. Г. Дринфельда и М. Джимбо сыграли решающую роль в становлении теории квантовых групп как новой области математических исследований. В статье [10], представляющей собой расширенный вариант доклада В. Г. Дринфельда на Международном математическом конгрессе (Беркли, 1986), говорится: «Наш подход к алгебрам Хопфа мотивирован квантовым методом обратной задачи (КМОЗ), методом построения и изучения интегрируемых квантовых систем, развитым главным образом JI. Д. Фаддеевым и его сотрудниками. Большая часть определений, конструкций, примеров, теорем настоящей работы возникла под влиянием КМОЗ».
Предлагаемая читателю монография содержит алгебраические основы теории квантовых групп и охватывает практически все ее связи с активно развивающимися разделами математики (узлы и зацепления, инварианты В.А.Васильева, монодромия уравнений Книжника-Замолодчикова и другие). Изложение построено так, что несмотря на отмеченную выше серьезную мотивировку самого предмета исследований от читателя не требуется знания соответствующих физических теорий. Две первые части монографии вполне доступны студентам младших курсов университетов, а последние две части — старшекурсникам и аспирантам. Автор достиг этого, опираясь на то, что XVI
Предисловие редактора перевода
с математической точки зрения уравнение Янга-Бакстера представляет собой некоторое алгебраическое нелинейное уравнение.
Понятие алгебры Хопфа проще всего объяснить на примере кольца функций на некоторой группе. Обычно так и поступают (см. [10], [RTF89]). Этому естественному пути следует и автор монографии, начиная с описания простого, но важного для дальнейшего, кольца функций на группе SL(2).
Алгебра Хопфа — это широко известный математический объект, теория которого имела важные приложения и до появления квантовых групп.
Первый пример алгебры Хопфа появился в работе X. Хопфа 1941 г. В известной теореме из этой работы речь идет об алгебре когомоло-гий пространства, на котором определено умножение, удовлетворяющее некоторым условиям. Из этих условий вытекают свойства алгебры когомологий, которые и используются в доказательстве. В 1953 г. А. Борель, взяв эти свойства в качестве аксиом, вводит алгебру Хопфа как алгебраический объект и получает чисто алгебраическое доказательство теоремы Хопфа [5].
