Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. Любая алгебра А имеет тривиальную фильтрацию, определенную как Fi(A) = А для всех і.
Пример 4. На любой градуированной алгебре А = фі>0^4г зададим фильтрацию формулой
F1(A) = 0 Aj
0 SCjSCi
для всех г Є Z+. Имеем gr(A) = А.
Пример 5. Пусть А — алгебра с фильтрацией F0(A) с F1(A) с ... с А, I — ее двусторонний идеал. Фактор-алгебра А/1 имеет фильтрацию
Fl(AfI)=Fl(A)ZFi(A)HI.
В этом случае мы имеем
gr(A/I) = фFi(A)Z(Fi^A) + Fi(A) ПІ). t^ о
В качестве специального случая рассмотрим алгебру SL(2). Она имеет фильтрацию как фактор-алгебра градуированной алгебры M(2). Мы имеем
gr(SL(2)) = k[a,b,c,d\/(ad — bc). 18
Глава 1. Предварительные сведения
1.7. Расширения Ope
Пусть R — некоторая алгебра и R[t] — свободный (левый) Д-модуль, состоящий из всех многочленов вида
P = antn + an-itn~l + ... + a0t°
с коэффициентами в R. Если ап ф 0, мы говорим, что степень deg(P) многочлена P равна п; положим по определению deg(O) = —оо. Цель этого параграфа — найти все структуры алгебры на i?[i], согласующиеся со структурой алгебры на Л и фильтрацией в R[t]. Нам понадобится следующее определение.
Пусть а — гомоморфизм алгебры R в себя, а-Дифференцирование алгебры R — это линейный оператор S на R такой, что
S(ab) = а(а)5(Ъ) + 6(а)Ъ (7.1)
для всех a, b Є R- Заметим, что из (7.1) следует <5(1) =0.
Теорема 1.7.1. (а) Предположим, что пространство i?[t] наделено структурой алгебры такой, что естественное включение R в j?[<] является гомоморфизмом и deg(PQ) = deg(P) + deg(Q) для любой пары (Р, Q) элементов из Тогда R не имеет делителей нуля, и существуют, притом единственные, мономорфизм а из R в себя и а-дифференцирование S на R такие, что
ta = a(a)t + 6(a) (7.2)
для всех а Є R.
(б) Обратно, пусть R — алгебра без делителей нуля. Для данных мономорфизма а алгебры R в себя и а-дифференцирования 6 существует, и притом единственная, структура алгебры на і?[і] такая, что включение R в j?[t] есть гомоморфизм и соотношение (7.2) выполняется для всех а из R.
Алгебра, определенная в теореме 7.1 (б), которую мы обозначаем через а, ?], называется расширением Ope, ассоциированным с тройкой (R, a, S). 1.7. Расширения Ope
19
Доказательство, (а) Пусть а,Ь — ненулевые элементы Л, следовательно, имеющие степень 0 в Л [і]. Имеем deg(ab) = deg(a) + deg(6) = О, что означает, что ab ф 0. Следовательно, R не имеет делителей нуля.
Теперь докажем существование и единственность операторов а и S. Возьмем произвольный элемент а из R и рассмотрим произведение ta. Мы имеем deg(ia) = deg(i) + deg(a) = 1. По определению R[t] существуют однозначно определенные элементы а(а) ф 0 и 5(a) алгебры R такие, что
ta = a(a)t + 6(a). (7.2)
Тем самым отображения а и 6 определяются однозначно. Левое умножение на t является линейным оператором, поэтому линейны также а и 6. Более того, отображение а обязано быть инъективным. Для а и b из R разложим обе части равенства (ta)b = t(ab) в Л[?], используя (7.2). Мы получим
a(a)a(b)t + a(a)8(b) + 8(a)b = a(ab)t + S (ab). (7.3)
Соотношения (7.3) означают, что
a(ab) = а(а)а(Ь) и S (ab) = a(a)S(b) + o(a)b. (7.4)
Применение (7.2) к равенству t\ = t дает a(l) = 1, и <5(1) = 0. Отсюда следует, что а — мономорфизм, а S — а-дифференцирование.
(б) Очевидно, что достаточно задать значение произведения ta для любого а Є Л, чтобы полностью определить умножение в Л [і]. Таким образом, единственность структуры алгебры на Л [і] при данных а и S вытекает из формулы (7.2).
Теперь докажем существование структуры алгебры на R[t], Для этого мы вложим R[t] в алгебру A4, состоящую из всех бесконечных матриц (fij)ij^і с элементами в алгебре End^) линейных операторов на Л, с ограничением, что в каждом столбце и каждой строке этих матриц лишь конечное число элементов отличны от нуля. Единицей в М. является диагональная матрица I, на диагонали которой стоят тождественные операторы. Для данного элемента а из R обозначим через a 6 Еікі(Л) оператор левого умножения на а. Условия, наложенные на а и S, переписываются в виде соотношений
аа = а(а)а и 6а = а(а)6 + 6(a) (7.5) 20
Глава 1. Предварительные сведения
в End(jR). Теперь рассмотрим бесконечную матрицу
\
T =
/
в A4. Она позволяет определить линейное отображение Ф : R[t] —> М. по формуле
(5 0 0 0
а 8 0 0
0 а S 0
0 0 а 8
0 0 0 а
(7.6)
г=0 i=0
Лемма 1.7.2. Отображение Ф инъективно.
Доказательство. Для произвольного целого г ^ 1 обозначим через єі бесконечный вектор-столбец, все элементы которого нулевые, за исключением г-го, равного единице 1 алгебры R. Применим матрицу эндоморфизмов T к Єі. Так как ?(1) = 0 и а( 1) = 1, мы получаем
Т{єі) = еі+і
(7.7)
для всех г ^ 1. Пусть теперь P = Ya=Ou^1 — элемент из R[t] такой, что Ф(P) = 0. Покажем, что тогда все элементы ао,... ,ап нулевые. Применим Ф(Р) к вектор-столбцу е\. Из (7.7) мы имеем
п Tl
0 = Ф(Р)(еі) = ?(аЦ)Г(Єі) =
t=0
г=0
Семейство {єі}і^і независимо, откуда щ = 0 для всех г. Поскольку в R имеется единица, мы получаем аг = 0 для всех г. Следовательно, P = O. ?
