Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
1.1. Алгебры и модули
Напомним некоторые сведения об алгебрах и модулях.
Алгеброй 1 называется кольцо А вместе с кольцевым гомоморфизмом т)а : к —> А, образ которого содержится в центре А. Отображение (Л, а) 77^4(А)а из k х А в А определяет на А структуру векторного пространства над к такую, что кольцевое умножение /ла '¦ А х А —> А является билинейным.
Гомоморфизмом алгебр называется кольцевой гомоморфизм / : А —> —>¦ В такой, что
I0TjA = VB- (1-1)
Вследствие (1.1) / сохраняет единицу, то есть мы имеем /(1) = 1. Линейное отображение т)а : к —> А является гомоморфизмом. Если задан мономорфизм алгебр і: А —>¦ В, то мы говорим, что А является подалгеброй алгебры В.
1 Здесь дано определение ассоциативной алгебры с единицей. Все алгебры, встречающиеся в этой книге, ассоциативны и обладают единичным элементом. Все гомоморфизмы алгебр сохраняют единицу. — Прим. перев. 4
Глава 1. Предварительные сведения
Обозначим через HoniAyg(А, В) множество гомоморфизмов из алгебры Ав В. Вообще говоря, это множество не имеет никакой специальной структуры. Однако мы скоро увидим, как определить на Hom^g(Л, В) групповую структуру в случае, когда А и В удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Приведем несколько примеров алгебр, которые будут часто использоваться в настоящей книге.
1. Для данной алгебры А определим противоположную алгебру как алгебру на том же векторном пространстве, что и А, но с умножением, заданным формулой
HA0P=^A0TAtA, (1.2)
где та,а — переставляющее отображение, меняющее местами сомножители в А X А. Другими словами,
= о! о,- (1.3)
Алгебра называется коммутативной, если
= Ij-A- (1.4)
2. Центр Z(A) алгебры А — это подалгебра
{а Є -А I аа' = а'а для всех а' Є А}.
Мы имеем Z(A) = Z(Aop).
3. Если I — двусторонний идеал алгебры А, то есть подпространство в А такое, что
цА{1 -X A) Cl D Ца{А X I),
то существует, и притом единственная, структура алгебры на фактор-пространстве А/1, для которой каноническая проекция из А на А/1 является гомоморфизмом.
4. Декартово произведение А = Піє/ j^i семейства алгебр (Лг)іЄ/ снабжается, и притом единственным образом, структурой алгебры так, что каноническая проекция А на Ai является гомоморфизмом для всех і Є I. Алгебра А называется произведением семейства алгебр (Ai) i^j. 1.1. Алгебры и модули
5
5. Для данной алгебры А можно образовать алгебру А[х] многочленов вида CL1X1, где а, ? Л, п — неотрицательное целое, и алгебру А[х, X-1] лорановских многочленов YlI=Tn агх\ ГДЄ TTl, П E Ъ.
6. Для натурального п мы обозначаем через Mn(A) алгебру пхп матриц с элементами из А.
7. Пространство End(F) линейных операторов на векторном пространстве V образует алгебру с умножением, заданным композицией операторов, И единицей, определенной тождественным отображением idV-
Для данной алгебры А левым А-модулем, или просто А-модулем называется векторное пространство F вместе с билинейным отображением (a, v) ь-> av из А х F в F такие, что
a(a'v) = (aa')v и Iv = v (1.5)
для всех а, а' Є A, v Є F. Аналогично определяется понятие правого А-модуля, с использованием билинейного отображения из F х А в V. Правый А-модуль есть не что иное, как левый модуль над противоположной алгеброй Aop. Поэтому нам достаточно будет рассматривать лишь левые модули, которые в дальнейшем для краткости называются просто модулями.
Для двух А-модулей F и V' линейное отображение / : V —> V называется А-линейным, или морфизмом А-модулей, если
f(av) = af(v) (1.6)
для всех а Є А и v Є V.
А-подмодуль V' некоторого А-модуля V — это подпространство в V со структурой А-модуля такое, что вложение V1 в V является А-линейным.
Действие А на А-модуле V определяет гомоморфизм р из А в End(F) по формуле
p(a)(v) = av. (1.7)
Отображение р называется представлением алгебры А в пространстве V.
Прямая сумма Vi ф ... ® Fn А-модулей Fi,... ,Fn наделяется структурой А-модуля по формуле
а(иь... ,un) = (avi,... ,avn), (1.8) 6
Глава 1. Предварительные сведения
где а Є A, vi Є Vi,... ,vn EVn. Введенные понятия позволяют нам дать дальнейшие определения.
Определение 1.1.1. А-модуль V называется простым, если он не имеет подмодулей, отличных от {0} и V, полупростым, если он изоморфен прямой сумме простых А-модулей, и неразложимым, если он не представляется в виде прямой суммы двух нетривиальных подмодулей.
На языке теории представлений простому (соответственно полупростому) модулю отвечает неприводимое (соответственно вполне приводимое) представление. Следующее хорошо известное утверждение будет использоваться в главах 5-7.
Предложение 1.1.2. Для произвольной алгебры А следующие утверждения эквивалентны.
(i) Для произвольной пары V' С V конечномерных А-модулей существует А-модуль V" такой, что V = V' © V".
(ІІ) Для любой пары V'cV конечномерных А-модулей, где модуль V' простой, найдется А-модуль V" такой, что V = V' ф V".
(iii) Для любой пары V1 С V конечномерных А-модулей существует А-линейный эпиморфизм р: V —> V' такой, что р2 = р.
