Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1. Предварительные сведения
Как результат применения предложения 8.2 и теоремы 8.3 к случаю a = id и 8 = 0, мы имеем
Следствие 1.8.4. Если алгебра R левая нётерова, то это можно сказать и про ... ,Xn]/1 для любого идеала I.
Доказательство теоремы 8.3. Пусть I — левый идеал расширения Ope а, Мы должны доказать, что / конечно порожден. Для данного целого d ^ О определим Id как объединение {0} и всех элементов R, которые появляются как старшие коэффициенты многочленов из I степени d. Легко проверить, что Id является левым идеалом в R.
С другой стороны, если а — старший коэффициент некоторого многочлена Р, то а(а) является старшим коэффициентом многочлена tP. Следовательно, Ct(Id) содержится в l,i+\ • Мы, таким образом, имеем возрастающую последовательность
h С cT\h) С CT2(T2) С ... С a~n(In) С a^n+1\ln+1) С...
левых идеалов в R. Так как алгебра R левая нётерова, существует целое п такое, что іп+і = аг(іп) для всех і ^ 0.
Для любого d, удовлетворяющего 0 ^ d ^ п, выберем образующие Od, 1, • • • , flrf, р в Id- Пусть Pdj — некоторый элемент степени dB I, старший коэффициент которого есть Множество конечно. Докажем индукцией по степени, что любой многочлен P в I принадлежит идеалу I' = Ydi^> а> Это будет означать, что
идеал I = I' конечно порожден, что и утверждает теорема.
Предположение индукции, очевидно, верно для степени 0. Пусть мы доказали, что любой элемент в I степени меньше d лежит в /', и пусть P — элемент I степени d.
(а) Если d ^ п, старший коэффициент а многочлена P имеет вид a = Yo^i^priad,i-> гДе rOi- •• і гр — элементы R. Следовательно, Q = P- Yo<z.i^p riPd,i — элемент I степени меньше d. По предположению индукции Q, а следовательно, и P принадлежат I'.
(б) Если d > п, то старший коэффициент а многочлена P лежит в Id = ad~n(In). Его можно представить в виде a = ^0<:i^pria<i~n(an,i) для некоторых Го,... ,Tp из R. Рассмотрим многочлен
Q = P- Yl ntd~nPn,i-
О^г^р1.9. Упражнения
25
Коэффициент при td в Q равен
a- Y, ria<1~n(an,i) = О,
и поэтому степень Q меньше d. Следовательно, можно применить предположение индукции, как и выше. ?
1.9. Упражнения
1. (Лемма Шура.) Докажите, что любое А-линейное отображение из одного простого А-модуля в другой либо нулевое, либо является изоморфизмом. Выведите отсюда, что А-линейные операторы на простом А-модуле образуют тело.
2. Пусть р = р2 — А-линейный идемпотентный оператор на неразложимом А-модуле V. Покажите, что р = 0 или р = idy.
3. Пусть Ai, A2 — некоторые алгебры, V1 — А-модуль, и V2 — Аг-модуль. Установите, что равенство (oi, 02)(1^, г;2) = = (0iui,a2u2) (где Oi Є Ab а2 Є A2, vi Є Vi, v2 Є V2) определяет структуру Ai X А2-модуля на V х V2. Докажите также, что любой Ai X А2-модуль имеет такой вид.
4. Пусть А — алгебра с фильтрацией и gr(A) — ассоциированная с ней градуированная алгебра. Докажите, что если gr(A) является нётеровой без делителей нуля, то это можно сказать и про А.
5. (Алгебра Pu.) Пусть A D ... D Fi D Fo — алгебра с фильтрацией. Определим алгебру Ри R(A) как подалгебру
R(A) = YjFntn
тг^О
алгебры многочленов A[t]. Докажите, что (і) имеют место изоморфизмы алгебр
R(A)I{t -1)= A, R(A)Kt) ~ gr(A), R(A)It'1] а A[t, г1],26
Глава 1. Предварительные сведения
(И) если алгебра gr(/t) порождается однородными элементами ai,... ,On степеней di,... ,dn соответственно, то алгебра R(A) порождена элементами t, a\tdl,... ,antdu, где Oj есть некоторый прообраз щ в Fi для всех і.
6. (Ряд Пуанкаре градуированной алгебры.) Пусть А = фі>0 Ai — градуированная алгебра такая, что все пространства Ai имеют конечную размерность. Определим ряд Пуанкаре алгебры А как формальный степенной ряд
P(A) =Yl
Докажите, что
P(k{xb... ,хп}) = и Р(к[жь... ,Sn]) = J1
7. Найдите ряд Пуанкаре градуированной алгебры, ассоциированной с фильтрацией в алгебре SL(2).
8. (Формула Лейбница.) Пусть S — а-дифференцирование алгебры R. Докажите, что если oi,... ,on — элементы R, то
<5(oi ... on) = (5(oi)O2 ... on +
Tl— 1
+ Yl a(ai ¦ ¦ ¦ аі-0<Коі)°і+і ¦. • On + cu(oi ... an-i)S(an) і=2
^(0102) = ^^(00^(02)
Jfc=о
#
для всех n ^ 1. Операторы Sn^ были определены в параграфе 7.
9. Пусть дана алгебра R с автоморфизмом а и а-дифференцированием S. Установите, что оператор Sa'1 есть а_1-дифференцирова-ние противоположной алгебры Rop и что имеет место изоморфизм алгебр
R[t,a,S]op а Дор[?, a'1, -Sa'1).
Выведите отсюда, что алгебра R[t, а, <5] правая нётерова, если таковой является R.1.10. Замечания
27
10. (Алгебра дифференциальных операторов.) Пусть R — алгебра над полем характеристики нуль и S — дифференцирование R. Алгебра дифференциальных операторов, ассоциированная с S, — это расширение Ope R[t, ісід, 5], которое мы обозначаем просто через R[t, 5].
(а) Докажите, что для любого целого п > 0 и любого элемента а из R мы имеем
^a = I )th(a)tn~h-
к=о ^ '
(б) Покажите, что если 8 — эпиморфизм, то любой след на 5], то есть линейная функция т на <5] такая, что т(ху) = т(ух) для любой пары (х, у) элементов R[t, 5], является нулевым.