Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 10.1.2. Зацеплением в X называется объединение L конечного числа т попарно непересекающихся замкнутых несамопере-секающихся простых ломаных линий в X. Эти ломаные называются связными компонентами зацепления L. Число т называется порядком зацепления. Узлом называется зацепление порядка 1.
Зацепление ориентируется выбором ориентации на каждой связной компоненте. В дальнейшем мы будем рассматривать только ориентированные зацепления. Следуя Райдемайстеру [Rei32], мы определим на зацеплениях комбинаторное преобразование Д. Теперь до конца этого параграфа мы будем предполагать, что X есть все пространство R3.
Определение 10.1.3. (а) Пусть L — некоторое зацепление в X, Мі, Мі+1 — две последовательные вершины одной из связных компонент зацепления L. Для данной точки N в X такой, что N ? L, Mi ? [N,Mi+x],
Мы говорим, что зацепление L' получено Рис. 10.1.1. Преобразование Д из L преобразованием Д (рис. 1.1).
(б) Два зацепления LhL' называются комбинаторно эквивалентными (обозначение: L ~с L'), если существует последовательность зацеплений L = Lo, L\,... ,Lk = L' такая, что для всех і одно из зацеплений Li и Lj+1 можно получить из другого преобразованием Д.
Отношение ~с является отношением эквивалентности, порожденным преобразованием Д.
Можно рассматривать также непрерывные деформации зацеплений. Это приводит к определению понятия изотопии15 .
[.Mi, N, Мі+1] DL = [Mi, Mi+1], обозначим через L' зацепление L1 = (L\ [Mi,Mi+l]) U [МІ,N} U [N, Мі+і].
Мі+\ ?. [Мі, iV] и
15 Далее вводится понятие кусочно-линейной объемлемой (ambient) изотопии. — Прим. ред. 304
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Определение 10.1.4. (а) Изотопией в пространстве X называется кусочно-линейное отображение h из I х X в X, где I = [0,1] такое, что для всех t Є I отображение h(t, ¦) является гомеоморфизмом пространства X, a h(0, ¦) есть тождественное отображение на X.
(б) Зацепления LhL' называются изотопными (запись: L L'), если существует сохраняющая ориентацию изотопия h в пространстве X такая, что h(l,L) = L'.
Лемма 10.1.5. Изотопия является отношением эквивалентности на множестве зацеплений.
Доказательство. Пусть L, L' и L" — некоторые зацепления.
(а) Для всех t Є I положим h(t, ¦) = idx- Очевидно, что h есть изотопия, связывающая зацепление L с самим собой: L L.
(б) Предположим, что существует изотопия /г: L L'. Пусть h'(t, •) = h(t, -)-1 — обратный гомеоморфизм. Тогда Ы есть изотопия от L' к L, то есть L' L.
(в) Если вдобавок имеется изотопия h': L' ~г L", то формула
h„ (h(2t,-), если 0 ^ ? ^ 1/2,
|/i'(2t- 1, •) о/г(1, ¦), если 1/2 <t<l,
задает изотопию от L к L". Иначе говоря, отношение транзитивно.?
Таким образом, мы имеем два отношения эквивалентности между зацеплениями. Следующее утверждение состоит в том, что они совпадают.
Предложение 10.1.6. Пусть LuL' — некоторые зацепления в R3. Тогда
L ~с L' -4=^- L L'.
Доказательство этого результата читатель найдет в [BZ85] (см. там предложение 1.10). В дальнейшем мы опускаем индексы г и с в обозначениях и ~с и говорим об изотопных, или эквивалентных, зацеплениях.
Мы завершаем этот параграф определением тривиального зацепления. 10.2. О классификации зацеплений с точностью до изотопии
305
Определение 10.1.7. Зацепление порядка т в R3 называется тривиальным, если оно изотопно объединению попарно непересекающихся треугольников, лежащих в одной плоскости. Тривиальный узел — это тривиальное зацепление порядка 1.
Мы обозначаем тривиальное зацепление порядка т через
0®т = 00...0 (т штук).
Тривиальные зацепления одного и того же порядка всегда изотопны независимо от ориентации. Поэтому для тривиального зацепления нет необходимости указывать ориентацию.
10.2. О классификации зацеплений с точностью до изотопии
Фундаментальной задачей в теории узлов является классификация зацеплений в R3 с точностью до изотопии. В частности, хотелось бы иметь удобный критерий того, что два данных зацепления изотопны, или того, что зацепление тривиально. Нахождение такого критерия является трудной задачей.
Классическим подходом к решению этой проблемы является сопоставление каждому зацеплению L некоторого алгебраического объекта Il такого, что Il = -Тел если LhL' эквивалентны. Такого рода функция I называется изотопическим инвариантом зацепления. Приведем некоторые примеры.
(а) (Порядок.) Очевидно, что число связных компонент зацепления сохраняется при любой изотопии и преобразовании А. Следовательно, порядок зацепления, то есть число его связных компонент, является изотопическим инвариантом. Однако этот инвариант слабый: он абсолютно нечувствителен к тому, насколько зацепление «заузле-но». Действительно, все узлы имеют один и тот же порядок, хотя существует ряд нетривиальных рис JQ 2 і Правый узлов, например правый трилистник, изображен- трилистник ный на рис. 2.1. 306
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
(б) (Коэффициент зацепления.) Это — более тонкий инвариант, восходящий к Гауссу. Рассмотрим две связные компоненты L\ и L2 зацепления L. Рассмотрим диаграмму зацепления L (определение диаграммы будет дано в параграфе 3). На ней имеются пересечения компонент L\ и L2. Припишем каждому пересечению P число є(Р) = ±1 по правилу, показанному на рис. 2.2. Тогда коэффициентом зацепления компонент Li и L2 называется целое число
