Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
309
Возникает естественный вопрос: любое ли зацепление в R3, по крайней мере с точностью до изотопии, может быть представлено диаграммой зацепления? Ответ на этот вопрос положителен и дается в следующем предложении, в котором предполагается фиксированной некоторая проекция 7Го пространства R3 на плоскость R2.
Предложение 10.3.4. Любое зацепление в R3 эквивалентно некоторому зацеплению L, образ которого 7Го (L) есть регулярная проекция зацепления.
Доказательство. Мы дадим набросок доказательства. Подробное доказательство см. в [BZ85]. Пусть L — некоторое зацепление в R3. Рассмотрим семейство S всех возможных проекций R3 на фиксированную плоскость. Для данной проекции 7г из S существует гомеоморфизм h пространства R3 такой, что 7Го(h(L)) = 7r(L). Поэтому достаточно показать, что непусто подмножество Sreg тех проекций ж из 5, для которых Tr(L) есть регулярная проекция зацепления. Множество S биективно R2, и мы можем перенести топологию R2 на S. На самом деле мы докажем, что в этой топологии множество Sreg всюду плотно в S.
Пусть 7Г — некоторый элемент дополнения S \ Sreg. Тогда проекция tt(L) может содержать следующие особенности: некоторые перекрестки могут иметь порядок ^ 3, а также проекции некоторых вершин могут попасть внутрь ребер. Это происходит, когда некоторая прямая, имеющая направление проецирования 7г, пересекает три ребра или пересекает ребро и проходит через вершину. Такие направления в первом случае принадлежат некоторой квадрике. Второе условие задает множество нацравлений, представляющее собой отрезок на плоскости. Отождествляя S и R2, мы видим, что S \ Sreg состоит из конечного числа отрезков и дуг коник. Следовательно, Sreg всюду плотно в S. ?
Сформулировав задачу классификации зацеплений в R3 чисто в терминах двумерных объектов, мы теперь зададимся вопросом: когда две диаграммы задают изотопные зацепления? Перед тем как ответить на этот важный вопрос, мы, снова следуя Райдемайстеру, введем четыре преобразования диаграмм зацеплений, показанные на рис. 3.1-3.4. Эти преобразования называются движениями Райдемайстера.
Применение преобразования (0) к диаграмме зацепления означает, что мы заменяем один из фрагментов, показанный на рис. 3.1, другим, 310
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
/1
N
Рис. 10.3.1. Движение Райдемайстера(0)
Рис. 10.3.2. Движение Райдемайстера (!)
Рис. 10.3.3. Движение Райдемайстера (И)
Рис. 10.3.4. Движение Райдемайстера (III)
не прикасаясь к оставшейся части диаграммы. Аналогично для остальных преобразований. На рис. 3.5-3.8 показано, что преобразования (0), (I), (II) и (III) получаются проекцией преобразований Д. Следовательно, применение этих преобразований к диаграмме не изменяет изотопический класс соответствующего зацепления в R3.
Движения Райдемайстера достаточны в смысле, который объясняется ниже сразу после того, как мы введем следующие дополнительные понятия. Говорят, что две диаграммы зацеплений П, П' изотопны, если в плоскости R2 существует изотопия h (см. определение 1.4) такая, что /г(1,П) = П'. Здесь мы подразумеваем, что соответствующие проекции изотопны в плоскости и упорядочения множеств Ep сохраняются в процессе изотопии. Изотопные диаграммы зацеплений представляют изотопные зацепления в R3.
С помощью функции высоты — проекции плоскости R2 на R — определим понятие диаграммы общего положения, означающее диаграмму зацепления, на которой все вершины и перекрестки имеют различные высоты. В частности, диаграмма общего положения не может иметь горизонтальное ребро, то есть ребро, параллельное Rx {0}. Изотопией общего положения между двумя диаграммами зацеплений общего положения П, П' называется некоторая изотопия h в плоскости R2 такая, что /г(1,П) = П', и такая, что h(t, П) есть диаграмма общего 10.3. Диаграммы зацеплений
311
V V-/
/
\
Рис. 10.3.5. Проекция движения Райдемайстера (0)
Рис. 10.3.7. Проекция движения Райдемайстера (II)
\
___л
Рис. 10.3.6. Проекция движения Райдемайстера (I)
Рис. 10.3.8. Проекция движения Райдемайстера (III)
положения при всех t Є [0,1]. Следующее утверждение дает критерий того, что две диаграммы общего положения изотопны как обычные диаграммы.
Лемма 10.3.5. Две диаграммы общего положения изотопны тогда и только тогда, когда они могут быть получены одна из другой конечным числом преобразований из следующего списка:
(A) изотопия общего положения,
(Б) изотопия, меняющая порядок вершин и перекрестков по высоте,
(B) движение Райдемайстера (0) и
(Г) изотопии в окрестности локального максимума функции высоты, показанные на рис. 3.9, а также симметричные им относительно горизонтальной и вертикальной прямых в плоскости рисунка.
Мы заменим преобразования (Г) из предыдущей леммы на другое семейство преобразований, которое, как будет видно в главе 12, больше подходит для наших целей. 312
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
\ /\ \ /AV
Рис. 10.3.9. Изотопии в окрестности локального максимума
Рис. 10.3.10. Изотопии в окрестности перекрестка
