Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что если плетения LnL' комбинаторно эквивалентны, то они имеют одинаковые границы и одинаковые типы. Понятие изотопии определяется следующим образом. 10.5. Плетения
323
Определение 10.5.3. (а) Изотопией в X = R2 х / называется кусочно-линейное отображение h: IxX —> X такое, что для всех t Є / отображение h(t, ¦) является гомеоморфизмом пространства X, ограничение которого на границу дХ = R2 х {0,1} тождественно, a h{0, •) есть тождественное отображение на X.
(б) Два плетения LnL' называются изотопными (запись: L ~г L'), если в X существует изотопия h такая, что h(l,L) = L'.
Снова, если LnL' изотопны, то они имеют одинаковые границы и одинаковые типы. Так же, как и для зацеплений, можно показать, что изотопия является отношением эквивалентности на множестве плетений (см. лемму 1.5). Предложение 1.6 имеет следующий аналог:
Предложение 10.5.4. Пусть LuL' — два плетения. Тогда
L L' ¦<=>¦ L L'.
Как и для зацеплений, мы не будем далее писать индексы в обозначениях эквивалентности и ~с и будем говорить просто об эквивалентных плетениях.
Плетения также можно представлять плоскими диаграммами. Мы введем аналоги дальнейших понятий, взятых из параграфа 3, не утомляя читателя излишними подробностями.
Определение 10.5.5. (а) Проекция П плетения — это объединение конечного числа некоторых (не обязательно замкнутых) простых ломаных линий на плоскости R2 таких, что никакая вершина не лежит внутри ребра и граница <9П проекции П удовлетворяет условию
an = П П (К X {0,1}) = ([k] X {0}) U ([/] X {1}).
Перекресток в П — это некоторая точка проекции плетения, лежащая одновременно внутри как минимум двух ребер. Порядок перекрестка P — это число различных ребер, которым принадлежит перекресток Р.
(б) Проекция плетения называется регулярной, если каждый перекресток имеет порядок в точности 2.
Пусть П — регулярная проекция плетения на плоскости. Для каждого перекрестка P мы вновь можем рассмотреть неупорядоченное множество Ер, состоящее из двух ребер, проходящих через Р. 324
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Определение 10.5.6. Диаграммой плетения называется регулярная проекция плетения в полосе Rx /, на которой все множества Ep (P пробегает все перекрестки) упорядочены. Для данного перекрестка P первое для этого упорядочения ребро в множестве Ep называется проходящим сверху (переходом), а второе — проходящим снизу (проходом).
Заменяя R2 на К X [0,1], получаем, как и в случае зацеплений, понятие изотопии диаграмм плетений, диаграммы плетения общего положения и изотопии общего положения. Имеют место аналогичные утверждения. Мы сформулируем здесь аналог леммы 3.6.
Лемма 10.5.7. Две диаграммы плетений общего положения изотопны тогда и только тогда, когда одну можно получить из другой применением конечного числа преобразований из следующего списка:
(A) изотопия общего положения,
(Б) изотопия, меняющая местами порядок вершин и перекрестков по высоте,
(B) движение Райдемайстера типа (0) и
(Д) изотопии в окрестности перекрестка, изображенные на рис. 3.10, а также получающиеся из них сменой прохождений во всех перекрестках.
Как и в случае зацеплений, любая диаграмма плетения (общего положения) корректно с точностью до изотопии задает плетение в M2 х I. Зафиксируем линейную проекцию 7Го множества R2 х I на полосу Rx/.
Предложение 10.5.8. Любое плетение в R2 х / эквивалентно некоторому плетению L, проекция которого по (L) является диаграммой общего положения.
Когда две диаграммы задают изотопные плетения? Ответ на этот вопрос такой же, как и для зацеплений. В нем участвуют движения Райдемайстера, определенные в параграфе 3.
Теорема 10.5.9. Две диаграммы плетения общего положения задают эквивалентные плетения в R2 х I тогда и только тогда, когда одну можно получить из другой конечным числом движений Райдемайстера (I), (II), (III) и изотопий диаграмм. 10.5. Плетения
325
Мы завершаем этот параграф определением частичной бинарной операции на плетениях. Рассмотрим кусочно-линейные отображения а\, U2 из топологического пространства R2 х I в себя, заданные формулами
ai(p,z) = (p,z/2) и a2{p,z) = (p,{z +1)/2),
где р Є R2, a z Є І. Если L w. L' — ориентированные плетения такие, что b(L) = s(L'), то
L'о L = oi(L) Ua2(IZ) есть ориентированное плетение, причем
s{L'oL) = s{L) и b(L'oL) = b(L').
Плетение L' о L называется композицией плетений LnL'. Оно получается приклеиванием L' сверху к L и затем сжатием того, что получилось, до размеров R2 х [0,1]. Докажем, что эта операция композиции согласована с эквивалентностью плетений.
Лемма 10.5.10. Пусть Li, L2, L3, L4 — ориентированные плетения, такие, что b(Lі) = s(L2), и fr(L3) = s(L\).
(а) Если Li ~ із, и L2 ~ L^, то L2 о Li ~ L^ о L3.
(б) Если, кроме того, b(L2) = s(Lz), то (Lz°L2)oLi ~ Lz°(L2oLi).
Доказательство, (а) Оставляется читателю.
(б) Плетения (L3 о L2) о Li и Lz о (L2 о Li) связаны изотопией h(t,p,z) = (p,(?t(z)), где р Є R2, t,z Є [0,1], а (р есть непрерывное отображение из I x I в I, заданное формулой
