Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 85

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 199 >> Следующая


Дор(а:)Д = RA{x) в случае X = EnX = F. Мы имеем

Aop(E)R= (Е® 1 + К®Е)( Y CijkEkKi ® FkKj^J = = Y CijkEb+1Ki ® Fk Kj +

OsJij,fcsJd-l

+ Y cijk EkKi+1 ® EFkKj

и

RA(E) =( Y CijkEkKi ®FkKjYl® E + Е® К) =

OsJiJ.fcsJd-l

= Y q2j CijkEkKi ® FkEKj +

+ Y Ч2І cijk Ek+1 Ki ® Fk Kj+1 =

OsJij,fcsJd-l

= Y q2j c^k EkRi ® EFkRj -

OsJiJ.fcsJd-l

E02j-(*-l)

[fc]--г Cijk EkKi ® Fk-1Kj+1 +

a — о

O^iJ.fcsJd-l 4 4

2j+(fc-l)

+ Y W " _ -1 CijkEkKi ® Fk-1Kj'1 + q q

+ Y q2i c^k Ек+1Ю ®FkKj+1.

OsJij,fcsJd-l

Приравнивая коэффициенты при EkK1 ® EFkKj, получаем

Cijk = q2(k-j) Ci-IJ,к- (7.3) 9.7. R-Матприцы для Uq

291

Проделывая с самого начала то же самое для F, получаем

Aop(F)R = (F ® К'1 + 1 ® F) ( E cHk EkKi ® i^) =

= E ^2fc cijk FEkKi ® FkKj-1 +

OsJij'.fcsJd-l

+ E CijkEkKi ® Fm Kj =

OsJij,*: <Jd-l

= E ^ cHk ЕкрКІ ® -

OsJi,.?,fcsJd-l

„2fc+(fc—1)

— E W _ _! Cijk Ek-1Ki+1 ® FfcX^1 + OsJi,j,fcsJd-l 9 9

n2k—(k—l)

+ E W _ -1 cO* Ek-1Ki-1 ® FfcX^1 +

OsJij\fcsJd-l 9 q

+ E Cijfc^i ®Ffc+1i^.

OsJij,fcsJd-l

С другой стороны,

RA(F) = ( E cm EkKi ® FfcXj') (Х-1 ® F + F ® 1) =

OsJi,j,fcsJd-l

= E <l~2j cVk EkKi-1 ® Ffc+1i^ + + E °ijk EkFKi ® FfcX-7'.

OsJiJ.fcsJd-l

Приравняем коэффициенты при EkFK1 ® FkKj-1, что дает

Ciifc = 9"2(fc+i) Cij-i,*, (7.4)

а также при -EfcJ5P ® Fk+1Kj, что даст

_2. 92(fc+i)+fc q 3 Ci+IJtk = Cijk - [Ac + 1] q_ -1 I,j+I,fc+1 +

fl2(fc+l)-fc

J+I,fc+1- (7.5) 292

Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда

Из (7.3) и (7.4) мы получаем

(HjO = q~2tj сооо = q~2lj с. (7.6)

Сопоставляя (7.3) и (7.5), будем иметь

„Aj—k+2

q-2j+2(k-j) ^jk = с..к _ + I]4 Ci+ld+hk+1 +

qk+2

+ [к + 1Jg _ q-1 ^+Ij+l.fc+l-

Значит,

Q-Q'1 k—Aj—2 Ci+lj + l.fc+l - [fc + і] 9 Ci-?fc'

или, что равносильно,

Я Я * fc_47+1

°ijk = да Я Ci_ lj_l,fc_l.

Следовательно, из (7.6) мы получаем

Сг>к = iQ '[hp" 4k{k+1)/2-4kj+2k{k-1)+k сг-к,і-к,о =

_ (Я~Я~1)к k(k—l)/2+2k(k—2j) —2(i—k)(j—k) ~ [fc]! Q Q

Иначе говоря, мы имеем

г и - г nk(k-l)/2+2k(i-j)-2ij

CtJk-C да, q

(б) Осталось показать, что с = 1/d. Из части (а) доказательства мы знаем, что R имеет вид

R = c E Я"** Ki^Kj + ... ,

0sJtj<d

где + ... обозначает сумму мономов, содержащих EnF в положительных степенях. Теперь мы применим равенство (A ® id)(/?) = і2із-Й23> то есть соотношение (8.2.3). Будем иметь

(А ® id) (R)=C Y Я~2ІІ Ki ® Ki ® Kj + ... , (7.7)

0 ^ij<d 9.7. R-Матприцы для Uq

293

в то время как

A13A23 = C2 J2 q-2il~2mj Ki ® Km ® Kl+j + ... = О ^i,l,m,j«t

= °2 J2 q-2il-2mU-l) Ki 0 Km 0 + = = C2 J2 <l~2mj ( S 9(2m_2i)') Ki ® Km ® Kj + ...

0<t,mj<d 0^(<d

Далее, сумма Y2o<j<d равна нулю, за исключением случая, когда N кратно d, в котором сумма равняется d. Следовательно,

ЖгЪг = dc2 Y q'2ij Ki ® Ki ® Kj + ... (7.8)

OsJijCd

Из (7.7), (7.8) мы получаем с = de2. Так как элемент R обратим, с не равно нулю. Следовательно, с = 1/d. ?

Мы завершаем этот параграф выводом из теоремы 7.1 формул для некоторых -R-матриц. Пусть 0 < п < d. Рассмотрим простой Uq-модуль Vn = Vi)П, определенный в главе 6. Как модуль он порождается старшим вектором Vq^ веса qn. Напомним, что действие алгебры Uq в каноническом базисе (v^, v^,... , v^} модуля Vn задается формулами

Щп) = qn-2P v(n) t Ev(n) =[n_ p+ VM г Fv(n) = jp + ч _ Мы используем их, чтобы найти вид /^-матрицы

CynVm ¦ Vn ® VmVm ® Vn,

получаемой из R с помощью формулы (8.3.1). Напомним, что Cyn Vn является решением уравнения Янга-Бакстера.

Следствие 9.7.3. Изоморфизм Суп ^m : Vn <g> Vm Vm <8> Vn является Uq-линейным отображением и задается формулой



= у- {Q-q T[n-p + fc]![r + fc]! nm (т) м 294

Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда

где а — произвольное целое такое, что число т + ad четное, и

¦nm/i. \ _ k{k-l)/2+k(m-n)—pm-rn—2(k-p)(kJrr)+(m+ad)n/2 Чрт vre) uJ Ч

Доказательство. По определению суп Vm и по теореме 7.1 мы имеем

(q-q-1)10 [n-p+fc]![r + fc]!

-І E

w1 [n-riw

qk{k-1)/2 x



где

Qnm(k) = E +iC71-2?) +j(m-2r)

0 ^i,j<d

что можно также записать в виде

Qnm(Iz) = ^ q2ik+i(n—2p) ^ ^ q(m-2r-2i-2k)j^ _

0^i<d O^j<d

Снова сумма X]o<j<d равна нулю, за исключением случая, когда iV делится на d. Таким образом,

Q™(k)=dJ2Q2ik+i(n~2p), і

где і пробегает все целые в промежутке [0, d — 1] такие, что

2i = m - 2r - 2k + ad.

Так как 2 — элемент, обратимый по модулю d, существует только одно целое г, удовлетворяющее этим условиям. Следовательно,

Qnm (к) = d g2ifc+*(n_2p) = c?qk(m-n)-pm-rn-2(k-p)(k+r)+(m+ad)n/2 q

Приложение 7.4. Рассмотрим случай n = m = 1. Можно взять а = 1. Следствие 7.3 означает, что

cVi,V1 (vO ® V0) = Xqv0Qv0,

cV1 ,V1 (vo ® vi) = X vi® v0,

cVllV1 (vi ®v0) = X (v0 ® vi + (q - q~x)vi ® v0),

Cy1,V1^i ®vi) = Xqvi <g> vi, 9.8. Упражнения

295

где Л = q(d 1^2, vo = Uq1 \ и «і = Uj1^. Читателю предлагается сравнить эти формулы с /?-матрицами из примера 2 в параграфе 8.1.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed