Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Дор(а:)Д = RA{x) в случае X = EnX = F. Мы имеем
Aop(E)R= (Е® 1 + К®Е)( Y CijkEkKi ® FkKj^J = = Y CijkEb+1Ki ® Fk Kj +
OsJij,fcsJd-l
+ Y cijk EkKi+1 ® EFkKj
и
RA(E) =( Y CijkEkKi ®FkKjYl® E + Е® К) =
OsJiJ.fcsJd-l
= Y q2j CijkEkKi ® FkEKj +
+ Y Ч2І cijk Ek+1 Ki ® Fk Kj+1 =
OsJij,fcsJd-l
= Y q2j c^k EkRi ® EFkRj -
OsJiJ.fcsJd-l
E02j-(*-l)
[fc]--г Cijk EkKi ® Fk-1Kj+1 +
a — о
O^iJ.fcsJd-l 4 4
2j+(fc-l)
+ Y W " _ -1 CijkEkKi ® Fk-1Kj'1 + q q
+ Y q2i c^k Ек+1Ю ®FkKj+1.
OsJij,fcsJd-l
Приравнивая коэффициенты при EkK1 ® EFkKj, получаем
Cijk = q2(k-j) Ci-IJ,к- (7.3)9.7. R-Матприцы для Uq
291
Проделывая с самого начала то же самое для F, получаем
Aop(F)R = (F ® К'1 + 1 ® F) ( E cHk EkKi ® i^) =
= E ^2fc cijk FEkKi ® FkKj-1 +
OsJij'.fcsJd-l
+ E CijkEkKi ® Fm Kj =
OsJij,*: <Jd-l
= E ^ cHk ЕкрКІ ® -
OsJi,.?,fcsJd-l
„2fc+(fc—1)
— E W _ _! Cijk Ek-1Ki+1 ® FfcX^1 + OsJi,j,fcsJd-l 9 9
n2k—(k—l)
+ E W _ -1 cO* Ek-1Ki-1 ® FfcX^1 +
OsJij\fcsJd-l 9 q
+ E Cijfc^i ®Ffc+1i^.
OsJij,fcsJd-l
С другой стороны,
RA(F) = ( E cm EkKi ® FfcXj') (Х-1 ® F + F ® 1) =
OsJi,j,fcsJd-l
= E <l~2j cVk EkKi-1 ® Ffc+1i^ + + E °ijk EkFKi ® FfcX-7'.
OsJiJ.fcsJd-l
Приравняем коэффициенты при EkFK1 ® FkKj-1, что дает
Ciifc = 9"2(fc+i) Cij-i,*, (7.4)
а также при -EfcJ5P ® Fk+1Kj, что даст
_2. 92(fc+i)+fc q 3 Ci+IJtk = Cijk - [Ac + 1] q_ -1 I,j+I,fc+1 +
fl2(fc+l)-fc
J+I,fc+1- (7.5)292
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Из (7.3) и (7.4) мы получаем
(HjO = q~2tj сооо = q~2lj с. (7.6)
Сопоставляя (7.3) и (7.5), будем иметь
„Aj—k+2
q-2j+2(k-j) ^jk = с..к _ + I]4 Ci+ld+hk+1 +
qk+2
+ [к + 1Jg _ q-1 ^+Ij+l.fc+l-
Значит,
Q-Q'1 k—Aj—2 Ci+lj + l.fc+l - [fc + і] 9 Ci-?fc'
или, что равносильно,
Я Я * fc_47+1
°ijk = да Я Ci_ lj_l,fc_l.
Следовательно, из (7.6) мы получаем
Сг>к = iQ '[hp" 4k{k+1)/2-4kj+2k{k-1)+k сг-к,і-к,о =
_ (Я~Я~1)к k(k—l)/2+2k(k—2j) —2(i—k)(j—k) ~ [fc]! Q Q
Иначе говоря, мы имеем
г и - г nk(k-l)/2+2k(i-j)-2ij
CtJk-C да, q
(б) Осталось показать, что с = 1/d. Из части (а) доказательства мы знаем, что R имеет вид
R = c E Я"** Ki^Kj + ... ,
0sJtj<d
где + ... обозначает сумму мономов, содержащих EnF в положительных степенях. Теперь мы применим равенство (A ® id)(/?) = і2із-Й23> то есть соотношение (8.2.3). Будем иметь
(А ® id) (R)=C Y Я~2ІІ Ki ® Ki ® Kj + ... , (7.7)
0 ^ij<d9.7. R-Матприцы для Uq
293
в то время как
A13A23 = C2 J2 q-2il~2mj Ki ® Km ® Kl+j + ... = О ^i,l,m,j«t
= °2 J2 q-2il-2mU-l) Ki 0 Km 0 + = = C2 J2 <l~2mj ( S 9(2m_2i)') Ki ® Km ® Kj + ...
0<t,mj<d 0^(<d
Далее, сумма Y2o<j<d равна нулю, за исключением случая, когда N кратно d, в котором сумма равняется d. Следовательно,
ЖгЪг = dc2 Y q'2ij Ki ® Ki ® Kj + ... (7.8)
OsJijCd
Из (7.7), (7.8) мы получаем с = de2. Так как элемент R обратим, с не равно нулю. Следовательно, с = 1/d. ?
Мы завершаем этот параграф выводом из теоремы 7.1 формул для некоторых -R-матриц. Пусть 0 < п < d. Рассмотрим простой Uq-модуль Vn = Vi)П, определенный в главе 6. Как модуль он порождается старшим вектором Vq^ веса qn. Напомним, что действие алгебры Uq в каноническом базисе (v^, v^,... , v^} модуля Vn задается формулами
Щп) = qn-2P v(n) t Ev(n) =[n_ p+ VM г Fv(n) = jp + ч _ Мы используем их, чтобы найти вид /^-матрицы
CynVm ¦ Vn ® VmVm ® Vn,
получаемой из R с помощью формулы (8.3.1). Напомним, что Cyn Vn является решением уравнения Янга-Бакстера.
Следствие 9.7.3. Изоморфизм Суп ^m : Vn <g> Vm Vm <8> Vn является Uq-линейным отображением и задается формулой
= у- {Q-q T[n-p + fc]![r + fc]! nm (т) м294
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
где а — произвольное целое такое, что число т + ad четное, и
¦nm/i. \ _ k{k-l)/2+k(m-n)—pm-rn—2(k-p)(kJrr)+(m+ad)n/2 Чрт vre) uJ Ч
Доказательство. По определению суп Vm и по теореме 7.1 мы имеем
(q-q-1)10 [n-p+fc]![r + fc]!
-І E
w1 [n-riw
qk{k-1)/2 x
где
Qnm(k) = E +iC71-2?) +j(m-2r)
0 ^i,j<d
что можно также записать в виде
Qnm(Iz) = ^ q2ik+i(n—2p) ^ ^ q(m-2r-2i-2k)j^ _
0^i<d O^j<d
Снова сумма X]o<j<d равна нулю, за исключением случая, когда iV делится на d. Таким образом,
Q™(k)=dJ2Q2ik+i(n~2p), і
где і пробегает все целые в промежутке [0, d — 1] такие, что
2i = m - 2r - 2k + ad.
Так как 2 — элемент, обратимый по модулю d, существует только одно целое г, удовлетворяющее этим условиям. Следовательно,
Qnm (к) = d g2ifc+*(n_2p) = c?qk(m-n)-pm-rn-2(k-p)(k+r)+(m+ad)n/2 q
Приложение 7.4. Рассмотрим случай n = m = 1. Можно взять а = 1. Следствие 7.3 означает, что
cVi,V1 (vO ® V0) = Xqv0Qv0,
cV1 ,V1 (vo ® vi) = X vi® v0,
cVllV1 (vi ®v0) = X (v0 ® vi + (q - q~x)vi ® v0),
Cy1,V1^i ®vi) = Xqvi <g> vi,9.8. Упражнения
295
где Л = q(d 1^2, vo = Uq1 \ и «і = Uj1^. Читателю предлагается сравнить эти формулы с /?-матрицами из примера 2 в параграфе 8.1.