Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
9.8. Упражнения
1. Пусть H — некоторая биалгебра, С — коалгебра. Докажите, что С является модульной коалгеброй над H тогда и только тогда, когда на С существует структура Я-модуля, в которой коумножение Д: С —> С ® С и коединица є: С —> к на С являются морфизмами Я-модулей для структуры тензорного произведения //-модулей на С ® С и структуры тривиального //-модуля на к.
2. Пусть H — некоторая биалгебра, С — коалгебра. Тогда С называется комодульной коалгеброй над Н, если на С имеется структура //-комодуля такая, что коумножение Д : С —> С ® С и коединица є: С —> к являются морфизмами //-комодулей для структуры тензорного произведения //-комодулей на С ® С и структуры тривиального //-комодуля на к. Нарисуйте коммутативные диаграммы, представляющие определение структуры //-комодульной коалгебры на С. Используя их, докажите, что С является комодульной коалгеброй над H тогда и только тогда, когда имеется линейное отображение Ac : С —>¦ H ® С, индуцирующее структуру //-комодуля на С и удовлетворяющее для всех X Є H и с Є С соотношениям
? CH ® (ссУ ® (се)" = Y dHCnH ® (J)c ® (с")с (с) (с)
и Е(с) Снє{сс) = є(с) 1, где Ас(с) = cH ® Ce-
3. Пусть H — некоторая биалгебра, С — коалгебра, снабженная структурой комодульной коалгебры над Н. Покажите, что двойственную алгебру С* можно наделить структурой комодульной алгебры над Н.
4. Пусть H — некоторая биалгебра, а С — коалгебра с заданной на ней структурой модульной коалгебры над Н. Покажите, что если С конечномерна, то двойственная алгебра С* имеет структуру модульной алгебры над Н. 296
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
5. (Присоединенное копредставление.) Пусть H — некоторая алгебра Хопфа. Определим линейное отображение AatJ изЯвЯ®Я по формуле
Aad(a) = Y a'S{a"')®a".
(а)
Докажите, что AatJ задает на H структуру //-комодульной коалгебры над собой.
6. (Коприсоединенное копредставление.) Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом. Докажите, что присоединенное копредставление индуцирует на двойственном векторном пространстве Н* структуру //-комодульной алгебры.
7. Пусть G — конечная группа, (а) Покажите, что левый модуль над квантовым дублем ?>(k[G]) есть левый G-модуль V вместе с разложением вида V = ф9ЄС Vg таким, что KVg С Vkgh-1 Для всех g,h Є G.
(б) Пусть W = ф9ЄС — другой левый ?>(к[(3])-модуль. Покажите, что автоморфизм cA, определенный в параграфе 8.3, переводит Vg <8> Wfl в Wh <8> Vhgh-ь отображая v <g> w в w® hv.
8. (Тензорное произведение скрещенных бимодулей.) Используя теорему 5.2, определите тензорное произведение скрещенных бимодулей.
9. Вычислите центральный элемент uS(u) (определенный в параграфе 8.4) для Uq.
10. Запишите отображение Cy2 у2, ассоциированное с простым Uq-MO-дулем V2, в виде матрицы 9x9.
11. (Структура косплетенной алгебры Хопфа на End(H).) Пусть дана конечномерная алгебра Хопфа (//, р, rj, А, є, S, S-1) с обратимым антиподом. Пусть E = End(ZZ), и E <g> E отождествлено с End(H®H). 10.8. Замечания
297
(а) Докажите, что на E существует структура алгебры Хопфа, для которой умножением является операция свертки, определенная в параграфе 3.3, единицей — ту о є, а коумножение Д', коединица є' и антипод S' заданы формулами
АУ)(х ® у) = ® x')A(f(yx"))( 1 ® SW")),
(X)
е'(Я = є(/(і)), S'(f)(x) = j2sw)(sfs-1)ww"
(X)
для всех х,у Є H и f Є Е.
(б) Отождествляя E с Я <g> Я* с помощью отображения Ля,я из следствия 2.2.3, определим отображения рн : E H и ря* : -E1 Я*сор по формулам
рн(х <S> а) = а(1)х и рн'(х <g> а) = є(х)а,
где ж Є Я, и а Є Я*. Докажите, что рн и ря* являются гомоморфизмами алгебр Хопфа такими, что композиция отображений
E ^0E РЙ®Р*- ) Я®Я*
совпадает с Л ^1fr
(в) Проверьте, что линейная функция г на E ® Е, заданная для f,g Є E формулой
r{f®g) = (ря*(/)>ря {g))i
задает на E структуру косплетенной алгебры Хопфа.
(г) Покажите, что двойственная сплетенная алгебра Хопфа Е* изоморфна квантовому дублю Дринфельда D(H).
9.9. Замечания
Конструкция квантового дубля принадлежит Дринфельду [Dri87]. Наше изложение написало на основе работ [Maj90a], [Tak81] (см. также 298
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
работу [RSTS88]). Радфорд [Rad93a] доказал, что квантовый дубль есть минимальная сплетенная алгебра Хопфа, то есть в нем нет собственных сплетенных подалгебр Хопфа. Верно и обратное, что любая минимальная сплетенная алгебра Хопфа конечномерна и является фактор-алгеброй квантового дубля некоторой алгебры Хопфа. Вообще, пусть H сплетена относительно универсальной A-матрицы R. Введем подпространство А С Н, порожденное всеми элементами вида (id# <8> a) (R), где а — линейная функция на Н. Радфорд показал, что на подпространстве А можно задать структуру подалгебры Хопфа, и тогда будет существовать гомоморфизм сплетенных алгебр Хопфа из D(A) в Н, образ которого является минимальной сплетенной подалгеброй Хопфа в H.
В параграфе 4 мы доказали, что в случае кокоммутативной H квантовый дубль D(H) изоморфен скрещенному произведению. Это верно в более общей ситуации, а именно, когда H сплетена. Дальнейшие подробности см. в [Maj91a],
