Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 91

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 199 >> Следующая


Лемма 10.3.6. Две диаграммы общего положения изотопны тогда и только тогда, когда они получаются одна из другой конечным набором преобразований из следующего списка:

(A) изотопия общего положения,

(Б) изотопия, меняющая порядок вершин и перекрестков по высоте,

(B) движение Райдемайстера (0) и

(Д) изотопии в окрестности перекрестка, изображенные на рис. 3.10, а также получающиеся из них сменой прохождений во всех перекрестках.

Доказательство. Очевидно, что преобразования (Д) можно получить изотопией диаграмм. По лемме 3.5 они сводятся к преобразова-ниям (А), (Б), (В), (Г). 10.3. Диаграммы зацеплений

313

Остается показать, что преобразование (Г) раскладывается на преобразования типов (А), (Б), (В) и (Д). На рис. 3.11,3.12 ниже дано доказательство этого факта для двух преобразований, изображенных на рис. 3.9. На рис. 3.11 первое преобразование имеет тип (В), второе складывается из (А) и (Б) и третье имеет тип (Д). На рис. 3.12 первое и четвертое преобразования имеют тип (Д), второе — тип (В) и третье складывается из (А) и (Б). Смена всех прохождений, а также отражение относительно вертикальной прямой сохраняют тип преобразований. Что касается отражения относительно горизонтальной оси (полученные преобразования будут включать локальные минимумы), то наше утверждение получается цепочкой преобразований, показанных на рис. 3.13, где первое и последнее преобразования имеют тип (В), среднее получается так же, как на рис. 3.11, а остальные имеют типы

(А) и (Б).

?

Рис. 10.3.11

Рис. 10.3.12

Рис. 10.3.13 314

Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы

Вернемся к проблеме представления зацеплений в K3 с помощью диаграмм (общего положения). Так как локально движение вершин вверх и вниз позволяет превратить любую диаграмму зацепления в диаграмму зацепления общего положения, мы видим из предложения 3.4, что любое зацепление в K3 эквивалентно некоторому зацеплению L, проекция которого 7Го(L) есть диаграмма общего положения.

Райдемайстер [Rei32] доказал следующую важную теорему, которая представляет изотопические классы зацеплений в K3 чисто в терминах двумерных диаграмм зацеплений.

Теорема 10.3.7. Две диаграммы зацепления общего положения задают эквивалентные зацепления в K3 тогда и только тогда, когда одну можно получить из другой конечным числом движений Райдемайсте-ра (I), (II), (III) и изотопий диаграмм.

10.4. Многочлен Джонса-Конвея

Теперь мы дадим определение многочлена Джонса-Конвея. Он является изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений, удовлетворяющим тому, что специалисты в теории узлов называют «скейн-соотношения». Чтобы сформулировать это условие, мы введем понятие тройки Конвея. Этот объект появлялся еще в работе [А1е28, с. 301], но Конвей [Соп70] был первым, кто заметил, что с помощью него можно давать определения инвариантов зацеплений, таких как многочлены Александера и Конвея.

Определение 10.4.1. Тройка (L+,L-,Lo) ориентированных зацеплений в K3 называется тройкой Конвея, если эти зацепления можно представить диаграммами D+, D-, Dq, совпадающими друг с другом вне некоторого диска в R2, а внутри него имеющими вид соответственно Х+,Х- (рис. 4.1) и 44"

Теперь мы сформулируем основной результат этой главы.

Рис. 10.4.1 10.4. Многочлен Джонса-Конвея

315

Теорема 10.4.2. Существует, и притом единственное, отображение L Pl из множества всех ориентированных зацеплений в пространстве K3 в кольцо Ъ[х,х~1 ,у,у~1} лорановских многочленов от двух переменных такое, что

(І) если L ~ L', то Pl = Pu,

(ii) для тривиального узла многочлен P есть константа I,

(iii) для любой тройки Конвея (L+, L-, Lq) имеет место равенство

xPL+-x~1PL_ =yPLo. (4.1)

Инвариант Pl называется многочленом Джонса-Конвея, или многочленом Джонса от двух переменных, или многочленом HOMFLY (по инициалам шести авторов работы [FYH+85]) зацепления L. Соотношения вида (4.1) называются скейн-соотношениями. Многочлен Vl Є Z[г], придуманный Конвеем [Соп70] как модификация многочлена Александера, определяется свойствами (i), (ii) из теоремы 4.2 вместе со скейн-соотношением

VL+-VL_ =zVLo. (4.2)

Аналогично, многочлен Vl Є Z[і1/2, Г1/2], придуманный в 1984 г. Джонсом [Jon85], [Jon87], задается условиями (i), (ii) и скейн-соотноше-нием17

t'lVL+ - tVL_ = (ft--^j VLo. (4.3)

Как следствие теоремы 4.2, многочлены Конвея и Джонса существуют и связаны с многочлен Джонса-Конвея от двух переменных подстановками 18

VL(Z)=PL(1,Z) И VL{t) = PL(t-l,tV2-rll2).

17 Данное здесь определение отличается от оригинального определения Джонса заменой t і-1. — Прим. перев.

18 Заметим, что непосредственно из этих подстановок не ясно, почему Vi, (г) есть многочлен (т.е. не содержит Z в отрицательной степени), a Vi;(t) —¦ лорановский многочлен от t1/2 (а не просто рациональная функция). Однако это действительно верно и может быть легко доказано параллельно с доказательством сюръективности отображения Q (см. доказательство предложения 4.4 ниже). — Прим. перев. 316

Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed