Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 9.6.1. Алгебра Uq обладает, и притом единственной, структурой алгебры Хопфа такой, что каноническая проекция из Uq на Uq является гомоморфизмом алгебр Хопфа.
Другими словами, коумножение, коединица и антипод алгебры Uq задаются формулами (7.1.1)-(7.1.4), определяющими структуру алгебры Хопфа на Uq.
Доказательство. Оно проводится так же, как и доказательство предложения 7.1.1. Мы должны только дополнительно проверить, что
A(E)d = A(F)d = A(K)d - 1 = О, e{E)d= e{F)d= e{K)d- 1 = 0, S(E)d = S(F)d = S(K)d -1 = 0. 282
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Единственным нетривиальным вычислением является проверка равенства нулю A(E)d и A(F)d. Следуя доказательству предложения 7.1.3, мы получаем
d-1
A(E)d = Ed ® Kd + E 9r(d_r)
Г=1
Ed~r ® ErKd~T + 1 ® Ed = О,
поскольку Ed = 0, с одной стороны, и
d г
W
= 0
[r]l[d-r]\
— с другой. Аналогично доказывается, что A(F)d = 0.
?
Цель этого параграфа — показать, что Uq является сплетенной алгеброй Хопфа. Для этого мы представим Uq как фактор-алгебру квантового дубля некоторой подалгебры Хопфа Bq С Uq. Мы определим Bq как подпространство в Uq, линейно порожденное семейством Из формул (7.1.1)-(7.1.4) видно, что Bq есть подалгебра Хопфа в Uq. Читатель может проверить, что Bq мультипликативно порождается образующими E и К, связанными соотношениями
KEK'1 = q2E, Ed = O и Kd = 1.
(6.1)
Теперь мы применим конструкцию квантового дубля из параграфа 4 к алгебре Хопфа H = Bq. Сначала найдем структуру алгебры Хопфа на X = (Bqp)*. Рассмотрим линейные функции а и Tj на Bq, заданные в базисе {ЕтКп}o^m,n<d-i формулами
(a, EmKn) = Smo q2n и (V, EmKn) = Sml.
(6.2)
Предложение 9.6.2. В алгебре Хопфа X выполнены следующие соотношения-.
Otd = 1,
Д(а) = ot <S> а,
Ф) = 1,
S(a) = ad~\
Vd = O, A(ri) = 1 <8> 77 + т; <8> а,
Ф) = о,
S(Tj) = -Tjad-1.
arjot
-1
Я 2V,
Кроме того, семейство {rfatyo^ij^d-i образует базис в X. 9.6. Применение к случаю Uq(s 1(2))
283
Доказательство. Начнем со следующей леммы.
Лемма 9.6.3. Для любых целых i,j,m,n мы имеем
^,EmKn) = Smi (i)lq2q2^i+nl
Доказательство. Согласно предложению 7.1.3, если ? и 7 — две линейные функции на H, то произведение /З7 в X задается соотношением
m , ч
(/З7, EmKn) = V I m J (?, Em-rKn) (7, ErKm+n~ r=o V Г Л2
г>- (6.3)
С помощью (6.3) можно индукцией по г показать, что
(Vі,EmKn) = Smi (г)!92,
а индукцией по j — что
(ai,EmKn)=Sm0q2jn.
Отсюда мы имеем
m , ч
(T1iQj, EmKn) = У" I m ) (rf, Em-rKn)(оР, ErКт+п-Т) =
T=О V Г A2 ТП / ч
= E 7 92i(m+n-r) =
r=0 ^ Г A2
Докажем теперь предложение 6.2.
(1) Используя предыдущую лемму и равенство qd = 1, получаем (ad,EmKn) =Sm0 = (є, EmKn). Следовательно, ad = є есть единица в X. Аналогично,
(тД EmKn) = 8m<i (d)\q2 = О, так кале (d)q2 = (q2d — l)/(g2 — 1) = 0. Для <xq мы имеем
(aV, EmKn) = E ( Sm—rfi Srx q2n = Sml q2n.
r=0 4 Г 'q2 284
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
По лемме 6.3 мы можем написать
(¦Па, EmKn) = Sml q2^ = q2(arj, EmKn),
откуда Т]а = q2ar].
(2) Разберемся с коумножением в X. По определению, если а есть линейная функция на H, то Л(а) задается соотношением А(а)(х®у) = = а(ух) для всех х,у Є Н. Следовательно,
A(a)(E{Kj <8 EmKn) = q2ni(a, Ei+mKj+n) =
= Si+m,0q2niq2^ = = Si0Sm0 q2jq2n = = (a ® a, EiKj ® EmKn),
откуда следует, что Д(а) = а® а. Подобным же образом мы имеем
А(г))(Е{Ю ® EmKn) = q2ni(V,Ei+mKj+n) =
_ г Jlni _
— Oi+m, 1 q — = Siо Sm 1 + Sil Smо q2n = = (1®г] + г]®а, EiKj <8 EmKn).
Следовательно, А(77) = 1 ® т] + т] ® а.
(3) Что касается коединицы, то мы имеем
є(а) = (а, 1) = 1 и ф) = (^,1)=0.
Вычисление S(a) и S(rj) мы оставляем читателю.
(4) Докажем последнее утверждение предложения 6.2. Так как размерность алгебры Хопфа X равна d2, достаточно показать, что семейство {rf aJ}0^.i,j^.d-1 линейно независимо. Предположим, что имеет место соотношение вида
E \jrfoP = 0.
OsJijsJd-I
Применяя его к вектору EmKn, получаем
E \гібті(іу.^2ЯІ+п) = (тУ-я>{ E Wi(m+n)) = 0.
OsJijsJd-l O^j^d-1 9.6. Применение к случаю Uq(s 1(2))
285
Если зафиксировать т и заставить п пробегать все целые от 0 до d — 1, то мы получим систему d линейных уравнений с неизвестными Amo,Ami,... ,\m,d-i- Определитель системы равен детерминанту матрицы (Aki)ki) элементы которой суть Aki = (q2(-m+^)k. Это — определитель Вандермонда, который отличен от нуля, поскольку q2(m+l) ф g2(m+l') ^ если o^/^/'^d — 1. Следовательно, эта система не имеет нетривиальных решений, и мы имеем Xmj = 0 для всех j. ?
Теперь мы построим квантовый дубль D = D(Bq). По определению дубля семейство {rjlaJ <g> Ek Kl}o^ijtk,i^.d-i является базисом в D. Для упрощения обозначений мы отождествляем элемент X из H = Bq с его образом 1 <8 X в D, а элемент а из двойственной алгебры X — с а® 1. В соглашениях, принятых ранее в параграфе 4, элементы только что введенного базиса можно переписать в виде
rf Oj ® EkK1 = rfcc> EkK1.
