Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Упражнение 11 представляет конструкцию, двойственную к конструкции дринфельдовского квантового дубля, приводящую к коспле-тенным алгебрам Хопфа. Мы взяли ее из работы Такеучи [Так92а], где дана также двойственная версия теоремы 5.2 (см. также [PW90], [RSTS88]).
Термин «скрещенные бимодули» взят из работы [Yet90]. В [Rad93b], они называются также «квантовыми модулями Янга-Бакстера».
Алгебра Хопфа Uq рассматривалась в [Lus90a], [Lus90b]. Вычисление ее универсальной A-матрицы, использующее другой метод, выполнено в [КМ91]. Она также появлялась в работе Решетихина и Typa-ева [RT91] при построении квантовых инвариантов 3-мерных многообразий.Часть III
Маломерная топология и тензорные категорииГлава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы......................301
Глава 11. Тензорные категории ....................................342
Глава 12. Категория плетений ......................................367
Глава 13. Сплетения..................................................393
Глава 14. Двойственность в тензорных категориях ..............424
Глава 15. Квазибиалгебры ..........................................457Глава 10
Узлы, зацепления, плетения и косы
Предпримем теперь топологическое отступление, которое перенесет нас в мир узлов. Причина появления этой главы в книге, посвященной квантовым группам, заключается в тесной связи между недавно открытыми инвариантами зацеплений (таких как знаменитый многочлен Джонса) и /2-матрицами. Эта связь будет уточнена в главе 12. В настоящей главе мы опишем нескольких классов 1-мерных подмногообразий в трехмерном пространстве R3, а именно, узлы, зацепления, плетения и косы. Так как по теории узлов написаны великолепные учебники, мы будем опускать доказательства, которые можно найти в других местах. Однако все результаты, которые относятся к теме этой книги, то есть связывающие топологические задачи с алгебраической теорией квантовых групп, будут даны с подробным доказательством.
После определения понятий узла и зацепления в R3 мы напомним классическую задачу их классификации с точностью до изотопии. Традиционный подход к этой проблеме состоит в построении алгебраических изотопических инвариантов. Один из главных шагов в этом направлении был сделан в 20-х годах нашего столетия Александером, сопоставившим каждому изотопическому классу ориентированных зацеплений некоторый многочлен, который стал мощным инструментом в теории узлов и был использовал для доказательства неэквивалентности ряда узлов.
Летом 1984 года Воэн Джонс нашел другой многочлен от одной переменной, который различает некоторые узлы, не отличимые с помощью многочлена Александера [Jon85]. Вскоре появился еще один инвариант, так называемый многочлен Джонса-Конвея, который зависит от двух переменных и обобщает как многочлен Александера, так и многочлен Джонса. Одна из целей настоящей главы состоит в том, чтобы установить существование и основные свойства многочлена Джонса-Конвея.302
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
10.1. Узлы и зацепления
Мы начнем с введения некоторых топологических терминов. Топологическими пространствами, рассматриваемыми ниже, будут только евклидовы векторные пространства Rn с их стандартной топологией, а также их подмножества и фактор-пространства с индуцированной топологией.
Непрерывное отображение / из подмножества U пространства Rm в подмножество X пространства Rn называется кусочно-линейным, если существует разбиение (Ui)i множества U на конечное число частей такое, что ограничение / на любое подмножество Ui имеет вид (zi,... , zm) а0 + aizi + ... + amzm, где а0, ,... ,ат — некоторые векторы пространства Rn.
Пусть X — выпуклое топологическое подпространство евклидова пространства R3. В дальнейшем в качестве X будет выступать R3, R2, R2 X [0,1] или R X [0,1]. Для данной конечной последовательности (Mi,... , Mn) точек из X обозначим через [Mi,... , Mn] (соответственно через ]Mi,... , Mn[) их замкнутую (соответственно открытую) выпуклую оболочку, то есть множество всех точек вида AiMi +... + A71M71, где (Ai,... ,A71) — набор неотрицательных (соответственно положительных) вещественных чисел таких, что Ai + ... + An = 1.
Определение 10.1.1. Ломаной линией LbX называется объединение
Tl — 1
L = (J [Mi, Мш] i=i
конечного набора отрезков таких, что пересечение любых двух из них ]Мі, Мі+і[ П ]Mj,Mj+1[, І Ф j, есть либо пустое множество, либо ровно одна точка. Точки Mi,... , Mn называются вершинами ломаной линии, а отрезки [Мі, Мі+і] — ее ребрами.
Мы называем ломаную линию L простой, если все точки Mi,... ,Mn-1 попарно различны. Простая ломаная называется не-самопересекающейся, если ]Мі,Мі+і[ П [Mj,Mj+1] = 0 для всех і ф j. Ломаная L называется замкнутой, если Mi = Mn, в этом случае мы говорим, что граница QL пуста. Если Mi ф Mn, то мы полагаем dL = {Mi, Mn}; точка Mi называется началом, a Mn — концом простой ломаной линии.10.1. Узлы и зацепления
303
Упорядочение вершин ломаной L задает на ней ориентацию. Она будет изображаться на рисунках с помощью стрелок: на ребре [Mi, M^x] стрелка будет направлена в сторону Mj+1.