Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть f(x,y) є А — лорановский многочлен от двух переменных такой, что Q(f(x,y)) = f(x,y)[0] обнуляется в Т. Тогда, используя определенное выше отображение Ф'^n q : T —> С, мы получаем
0 = Фl>q{f(x,y)[0}) = f(qm,q- q-^mAO)
для любого целого m > 1 и любого комплексного числа q, не являющегося корнем из единицы. Так как Фт>д(0) ф 0, мы получаем f(qm,q — q~1) ~ 0. Поскольку это верно для бесконечного числа различных степеней т, многочлен / делится на у — (q — <?-1). Последнее утверждение верно для бесконечного числа различных комплексных значений q, что возможно, только если многочлен / нулевой. Это доказывает инъективность Q. ?
Приложение 10.4.8. Мы завершаем этот параграф вычислением многочлена Джонса-Конвея для правого трилистника К и зацепления Хопфа Н. Из рис. 4.3,4.4 видно, что (H, 00,0) и (К, О, H) являются трой-
ками Конвея.
Рис. 10.4.3
Рис. 10.4.4 320
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Из (4.1) мы имеем
хРн = X-1Poo + уРо = -—---1- У-
У
Значит,
Ph = [х'1 - х~г)у-1 + х~1 у. Аналогичное вычисление для правого трилистника дает
Pk = 2х~2 -х~А + х~2у2.
Согласно следствию 4.3 для зеркального образа К многочлен Джонса-Конвея равен
PR = 2x2-x4 + x2y2^PK.
Отсюда следует, что трилистник не изотопен своему зеркальному образу і — факт, который был замечен еще Дэном [Dehl4] в 1914 г.
10.5. Плетения
Этот параграф посвящен понятию плетения, которое обобщает понятие зацепления. Плетения будут широко использоваться в главе 12, в частности при доказательстве предложения 4.7.
Для любого целого п > 0 положим [n] = {1,2,... ,n}. В случае п = 0 мы считаем, что [0] есть пустое множество. Обозначим через I замкнутый отрезок [0,1], а через R2 — вещественную плоскость.
Определение 10.5.1. Пусть к и / — неотрицательные целые числа. Плетением 19 L типа (к, I) называется объединение конечного числа некоторых попарно не пересекающихся ориентированных несамопере-секающихся ломаных линий в X = M2 х I таких, что граница дЬ удовлетворяет условию
dL = L n (R2 X {0,1}) = ([к] X {0} X {0}) U (И X {0} х {1}).
Условие на границу в определении 5.1, в частности, означает, что плетение должно трансверсально подходить к плоскостям, ограничивающим R2 X I. Заметим, что зацепление в M2 х / является плетением
19 В русскоязычной литературе плетения называют также связками. — Прим. перев. 9.8. Упражнения
321
типа (0,0). На рис. 5.1 приведен пример плетения, не являющегося зацеплением.
Для данного плетения L типа (к, I) определим две последовательности s(L) и b(L), состоящие из знаков + и —. Если к = 0, то по определению s(L) есть пустое множество 0. Аналогично, если I = 0, то мы полагаем b(L) = 0. В общем случае положим
s(L) = (єі,... ,єк) и b(L) = (r/i,... ,ту;),
где Єі = + (соответственно гц = +), если точка (г, 0,0) (соответственно точка (г, 0,1)) является конечной (соответственно начальной) точкой плетения L. В остальных случаях мы полагаем Єі = — и гц = —.
Дадим несколько примеров плетений, которые будут использоваться в дальнейшем.
1. Обозначим ломаные линии [(1,0,1), (1, 0, 0)] и [(1,0, 0), (1,0,1)] через 4 и f соответственно. Мы имеем s(4) = (+), b(l) = (+), s(t) = (—) И b(t) = (-)¦
2. Плетения Х+ и X- на рис. 4.1 можно задать как
Х± = [MuM+] U [Mf1M3] U [ATbAT2iI U [JV2*, JV3], (5-1)
где Mi, M^t, M3, Ni, N+, AT3 — точки со следующими координатами в
K2 ж 7:
M1 = (2,0,1), N1 = (1,0,1),
М2± = (3/2, =Fl, 1/2), Ni = (3/2, ±1,1/2),
M3 = (1,0,0), AT3 = (2,0,0).
Мы имеем S(Xt) = b(X±) = (+,+).
3. Плетения П и типа (2,0) определим как
П = [(1,0,0), (3/2,0,1/2)] U [(3/2,0,1/2), (2,0,0)] (5.2)
и
tT = [(2,0,0), (3/2,0,1/2)] U [(3/2,0,1/2), (1,0,0)]. (5.3)
Мы имеем а(П) = (-,+), Ъ(П) = 0, а(1Т) = (+,-) и Ъ(tT) = 0 (см. рис. 5.2).
Рис. 10.5.1. Плетение 322
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
T T v v
AA__
Рис. 10.5.2. Плетения П и tT Рис. 10.5.3. Плетения U и Ij
4. Аналогично определим плетения U и tl типа (0,2) как
U - [(1,0,1), (3/2,0,1/2)] U [(3/2,0,1/2), (2,0,1)] (5.4)
и
tr = [(2,0,1), (3/2,0,1/2)] U [(3/2,0,1/2), (1,0,1)]. (5.5)
Мы имеем s(U) = 0, Ь(и) = (+,-), a(tJ) = 0 и 6(tj) = (-,+) (см. рис. 5.3).
Для плетений имеются те же отношения эквивалентности, что и для зацеплений. Дадим их определения применительно к плетениям. Начнем с комбинаторной эквивалентности ~с.
Определение 10.5.2. (а) Пусть L — некоторое плетение в X, Mi и Мі+1 — две последовательные вершины плетения L. Пусть дана также точка N в K2 X ]0,1[ такая, что N ? L, Mi^ [iV, Мі+1], Мі+і ?. [Mi, N) и
[Mi,N,Mi+1]nL = [Mi, Мш].
Зададим плетение L' как
L' = (L \ [Mi, Mi+1]) U [Mi, N] U [N, Мі+1].
Будем говорить, что плетение V получено из L преобразованием Д.
(б) Два плетения L vi L' называются комбинаторно эквивалентными (обозначение: L ~с L'), если существует последовательность плетений L = Lq, Li,... ,Lk = L' такая, что для всех і одно из плетений Li, Li+1 можно получить из другого преобразованием Д.
