Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 92

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 199 >> Следующая


Многочлен Джонса-Конвея может в ряде случаев отличить зацепление L от его зеркального образа L, то есть зацепления, симметричного данному относительно некоторой плоскости в К3. Из теоремы 4.2 вытекает

Следствие 10.4.3. Мы имеем

Ръ(х,у) = PL(x-\-y).

Доказательство. Для любой тройки Конвея (L+, L-, Lq) тройкой Конвея будет также (L-, L+, Lq). Следовательно, мы имеем

X~lPL+-xpLi= -VpL0-

Доказательство завершает применение определяющих свойств многочлена Р. ?

Докажем теорему 4.2. Рассмотрим кольцо А = Ъ\х, х~х, у, у-1], множество К. классов эквивалентности ориентированных зацеплений в K3 и свободный А-модуль Л [/С], порожденный множеством /С. Обозначим через T фактор-модуль модуля Л[/С] по Л-подмодулю, порожденному элементами вида

x[L+]~ X-1IL-]-y[L0], (4.4)

где (L+,L-,Lq) пробегает всевозможные тройки Конвея. А-модуль T называется скейн-модулем пространства M3.

Предложение 10.4.4. Пусть Q: А —> T — А-линейное отображение, отправляющее 1 в класс эквивалентности [О] тривиального узла. Тогда Q есть изоморфизм.

Следовательно, скейн-модуль T является свободным А-модулем ранга один, порожденным элементом [О]. Утверждение теоремы 4.2 следует из предложения 4.4. Действительно, пусть L — некоторое ориентированное зацепление, [L] — его класс эквивалентности в Т. Положим

Pl = Q-1HL]) Є ZfoaT11у,у'1].

Очевидно, что P удовлетворяет всем трем условиям теоремы 4.2. Остается дать доказательство предложения 4.4. Оно состоит из двух частей, состоящих в установлении того, что отображение Q сюръективно, а затем, что оно инъективно. 10.4. Многочлен Джонса-Конвея

317

Сюръективностъ отображения Q. Это чисто топологическое утверждение, которое по существу не использует природу кольца Л. Достаточно проверить, что А-модуль T порождается классом эквивалентности [О] тривиального узла. Это будет сделано в два этапа.

Лемма 10.4.5. А-модуль T порождается семейством {[0®"]}„>о изотопических классов тривиальных зацеплений.

Доказательство. Пусть T т — Л-подмодуль, порожденный изотопическими классами зацеплений, представляемых диаграммами, имеющими ^ т перекрестков. Очевидно, Tm есть подмодуль в Ym+i, a T есть объединение всех Tm. Поэтому достаточно доказать лемму 4.5 для каждого из Tm. Сделаем это индукцией по т. В случае т = 0 утверждение верно по определению тривиального зацепления. Предположим, утверждение доказано для всех целых < т. Пусть [L] є Tm — изотопический класс некоторого зацепления. Его представляет некоторая диаграмма зацепления с т перекрестками. Выберем один из них. Тогда существует тройка Конвея (L+, L-, Lq) такая, что L = L+ или L = L-, а диаграмма Lq имеет т—1 перекрестков. Из (4.4) следует, что {L+} = х~2\L-] (mod Tm_i). Другими словами, изменение прохождений ведет по модулю Tm_i к умножению на обратимый элемент кольца Л. Из леммы 3.3 теперь следует, что класс зацепления L принадлежит подмодулю, порожденному тривиальными зацеплениями и подмодулем Tm_j. Последний также порождается тривиальными зацеплениями по предположению индукции. ?

Вторым шагом доказательства сюръективности Q является следующая лемма, из которой, кстати, видно, что элемент у должен делить

Лемма 10.4.6. Для произвольного целого п > 1 имеет место

Доказательство. Из рис. 4.2 видно, что (0®п,0®п,0®(п+1ї) есть тройка Конвея для любого п > 1. По определению T мы получаем

(х — X

Индукция по п завершает доказательство.

? 318

Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы

M M ч, S
А А У Ч

Рис. 10.4.2. Тройка Конвея

Инъективностъ Q. Эта часть доказательства, в отличие от доказательства сюръективности, алгебраическая. Мы используем следующее предложение, которое будет доказано в главе 12.

Предложение 10.4.7. Пусть q ф 0 — комплексное число, не являющееся корнем из единицы, т — некоторое целое > 1. Тогда существует, и притом единственное, отображение Фт,д из множества всех ориентированных зацеплений в K3 в поле С комплексных чисел такое, что

(і) из L ~ L' следует Фm,g(L) = Фт;9(1/), (H) значение Фm<q на тривиальном узле равно

т _ -т

<WO) = -—-zr * °>

q-q і

(iii) для любой тройки Конвея (L+, L-, Lq) выполнено соотношение

qm$m,q{L+) - сГтФті(г(і_) = (q- q-^m,g(L0).

Принимая предложение 4.7 и используя гомоморфизм C,q,m: Л —> С, определяемый формулами (qiTn(x) = qrn и Cq^m(у) = q — q~l, который задает на С структуру Л-модуля, мы видим, что Фкорректно продолжается до А-линейного отображения Ф'т q из А [К] в С. Действительно, для любой тройки Конвея (L+,L-,Lq) из предложения 4.7 мы имеем

&m,q(x{L+)-x-l[L-}-y[Lu}) =

= C,q,m{x)$m,q{L+) ~ ^,„(аГ^Фm,q(L-) - Cg,m(y)^m,g(Lo) = = qm$m,q{L+) - Ч~тФтл{Ь-) -(q- q-^mALo) = = 0.

Следовательно, отображение Ф'т q факторизуется до корректно определенного А-линейного отображения (обозначим его через из T 10.4. Многочлен Джонса-Конвея

319

в C такого, что = Фт^(Ь) для любого ориентированного за-

цепления L.

Теперь мы готовы доказать инъективность отображения Q из Л в Т, что завершит доказательство предложения 4.4, а значит, и теоремы 4.2.
Предыдущая << 1 .. 86 87 88 89 90 91 < 92 > 93 94 95 96 97 98 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed