Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 84

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 199 >> Следующая


Чтобы вычислить произведение произвольных элементов квантового дубля D, достаточно знать его для пар, составленных из образующих а,т],Е,К.

Предложение 9.6.4. В алгебре D = D(Bq) выполнены следующие соотношения:

Ka = аК, Kr) = q~2 Т)К,

Ea = q~2 аЕ, Er) = -q~2( 1 - rjE - аК).

Доказательство. Согласно (4.5) произведение x? в D элементов X ЄН vi ? EX задается формулой

x? = E ?(S~l (х"')1х') х".

(X)

Применим ее к образующим. Во-первых, мы имеем S"-1 (К) = К~1 и (Д <8> і(1)(Д(А')) = К <g> К <g> К. Следовательно, для любой линейной функции ? Є X мы имеем

K? = да-1? К) К.

(6.4) 286

Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда

Далее, S^(E) = -K-1E и

(Д <8 id)(A(jB>) = \®\®Е + \®Е®К + Е®К®К.

Значит,

E? = -?(K-1EI) + ?(K'4) E + ?(K~11E) К. (6.5)

Предложение 6.4 вытекает теперь из (6.4), (6.5) и следующей леммы. ?

Лемма 9.6.5. Мы имеем

O(K-1IK) = a, Ct(K-1El) = О,

Ct(K-1I) = q~2 a, O(K-1IE) = О,

T1(K-1IK) = q-2 v, T1(K-1El) = q-2 є,

T1(K-1I) = q-2 T1, T1(K-1IE) = q-2 a.

Доказательство. Оставляется читателю. ?

Теперь мы установим связь между квантовым дублем D(Bq) и алгеброй Хопфа Uq.

Теорема 9.6.6. Пусть х' D(Bq) —>• Uq — линейное отображение, заданное формулой

X(ViOjEkKt) = ^g ^ 92(<+j)*-i(i-i) FiEkKi+j+l^ (б 6)

где 0 ^ г, j, к, I ^ d — 1. Тогда х есть эпиморфизм алгебр Хопфа.

Доказательство. Сюръективность отображения х следует из того факта, что образ базиса {vlot> EkKt) аддитивно порождает Uq.

Чтобы показать, что х есть гомоморфизм алгебр, достаточно проверить, что образы элементов Е, К, a, v при отображении х удовлетворяют соотношениям из предложения 6.4. Заметим, что (6.6) влечет

X(E) = Е, х(К) = К,

Х(а) = К, m = 9.6. Применение к случаю Uq(s 1(2))

287

Далее, по определению Uq мы имеем Х(К)Х{а) = Х(<*)Х(К),

x(k)x(v) = q—±lkfk = д~2хш(к),

чг

X(E)x(a)=q-2x(a)x(E)-

Окончательно, мы получаем

X(E)X(V) = EFK =

qz

FEK + \(К- K~l)K =

qq

= _<L_f± FKE -К2) =

= -<Г2 (і -x(v)x(E)-х(сс)х(к)).

Отсюда следует, что х является гомоморфизмом алгебр.

Для доказательства того, что х уважает коумножение и антипод, снова достаточно проверить это на образующих. Для Е, К и а это очевидно. Таким образом, осталось только проверить случай 77, для которого имеем

= lzS- =

г

= (1 О FK + FK ® К) =



= х(1) ® x(v) + x(v) ® x(0f) = = (х ®х) (Afo))-

Аналогично,

q-q-

x(s(v)) = -xfo«'1) = ,-1

F =

Я2

V-J^-S(K)S(F) = Г 288

Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда

= IZjfls(FK) =

= S(x(v)). ?

Мы готовы получить следующий вывод, который и является здесь нашей основной целью.

Следствие 9.6.7. Алгебра Хопфа Uq является сплетенной.

Доказательство. Алгебра Хопфа D = D(Bq) является сплетенной по теореме 4.3. Пусть Rd Є D ® D — ее универсальная Д-матрица. Зададим обратимый элемент R в Uq ®Uq формулой

r=(x®x)(rd). (6.7)

Тале как отображение х есть эпиморфизм алгебр Хопфа, ясно, что R удовлетворяет условиям (8.2.1)-(8.2.3). ?

Мы вычислим универсальную A-матрицу R алгебры Хопфа Uq в следующем параграфе.

9.7. Я-Матрицы для Uq

Мы сохраняем обозначения и предположения параграфа 6. Теорема 9.7.1. Универсальная R-матрица для Uq есть

R=I Y^ (q~q 1^fc QKk-l)/2+2k(i-j)-2ij EkKi ф pkKi ^ ffcl!

^ 1

d ^ J [fcl!

Доказательство. Согласно сказанному в параграфе 4, мы имеем Rd = J^ielе* ® е*' гДе {еі}іє/ — произвольный базис векторного пространства Bq, а {е1}іе/ — дуальный к нему базис. Следовательно, из (6.7) мы получаем

я = ?хЫ®х(е'). (7.1)

ІЄІ 9.7. R-Матприцы для Uq

289

Как и выше, возьмем за базис в Bq семейство {-fi^iPjo^ij^d-i- Обозначим через {/З^іо^іj^d-i двойственный базис. Из предложения 6.2 мы знаем, что существуют скаляры такие, что

?ij= E Aig^oj. (7.2)

OsJfc1JsJd-I

Применим соотношение (7.2) к вектору EmKn-. используя лемму 6.3, мы получим следующую систему линейных уравнений

SimSjn = E 6Um)Wl{k+n) = OsJJMsJd-I

= мЦ E ^1(т+п))-

OsJisJd-I

Рассуждение, аналогичное тому, с помощью которого в предложении 6.2 была доказана линейная независимость семейства {г7га-?}о^гj^d-i, показывает, что = 0 для т ф і. Вычисление коэффициентов , которые удовлетворяют системе линейных уравнений

Eija2i(»+n) _ 1 g ^ 4 ~ Ml о

требует обратить матрицу Вандермонда. Мы не будем здесь этого делать, поскольку нам нужна R, а не Rd . Вместо этого мы используем более прямой и простой метод.

Действительно, из приведенного выше рассуждения мы знаем, что R есть тензор вида

R= E ^x(EiKi)QxWa1).

OsJij,isJ<i-l

Заметим, что элемент xiv1®1) пропорционален FlK%+l. Следовательно, R можно записать в более определенном виде14

R= E cVkEkKi <g> FkKK

Далее мы вычислим коэффициенты cyfc¦ Утверждение теоремы 7.1 будет- следовать из леммы 7.2. ?

Напомним, что х{Е'К') = EiKj согласно (6.6). — Прим. ред. 290

Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда

Лемма 9.7.2. Для всех г, j, к мы имеем

е.... - 1 (Я - Я'1)* k(k—l)/2+2k(i—i)—2ii ^k ~d [fc]! 4

Доказательство, (а) Сначала мы выразим cijk через с = сооо, используя соотношение
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed