Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы вычислить произведение произвольных элементов квантового дубля D, достаточно знать его для пар, составленных из образующих а,т],Е,К.
Предложение 9.6.4. В алгебре D = D(Bq) выполнены следующие соотношения:
Ka = аК, Kr) = q~2 Т)К,
Ea = q~2 аЕ, Er) = -q~2( 1 - rjE - аК).
Доказательство. Согласно (4.5) произведение x? в D элементов X ЄН vi ? EX задается формулой
x? = E ?(S~l (х"')1х') х".
(X)
Применим ее к образующим. Во-первых, мы имеем S"-1 (К) = К~1 и (Д <8> і(1)(Д(А')) = К <g> К <g> К. Следовательно, для любой линейной функции ? Є X мы имеем
K? = да-1? К) К.
(6.4)286
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Далее, S^(E) = -K-1E и
(Д <8 id)(A(jB>) = \®\®Е + \®Е®К + Е®К®К.
Значит,
E? = -?(K-1EI) + ?(K'4) E + ?(K~11E) К. (6.5)
Предложение 6.4 вытекает теперь из (6.4), (6.5) и следующей леммы. ?
Лемма 9.6.5. Мы имеем
O(K-1IK) = a, Ct(K-1El) = О,
Ct(K-1I) = q~2 a, O(K-1IE) = О,
T1(K-1IK) = q-2 v, T1(K-1El) = q-2 є,
T1(K-1I) = q-2 T1, T1(K-1IE) = q-2 a.
Доказательство. Оставляется читателю. ?
Теперь мы установим связь между квантовым дублем D(Bq) и алгеброй Хопфа Uq.
Теорема 9.6.6. Пусть х' D(Bq) —>• Uq — линейное отображение, заданное формулой
X(ViOjEkKt) = ^g ^ 92(<+j)*-i(i-i) FiEkKi+j+l^ (б 6)
где 0 ^ г, j, к, I ^ d — 1. Тогда х есть эпиморфизм алгебр Хопфа.
Доказательство. Сюръективность отображения х следует из того факта, что образ базиса {vlot> EkKt) аддитивно порождает Uq.
Чтобы показать, что х есть гомоморфизм алгебр, достаточно проверить, что образы элементов Е, К, a, v при отображении х удовлетворяют соотношениям из предложения 6.4. Заметим, что (6.6) влечет
X(E) = Е, х(К) = К,
Х(а) = К, m =9.6. Применение к случаю Uq(s 1(2))
287
Далее, по определению Uq мы имеем Х(К)Х{а) = Х(<*)Х(К),
x(k)x(v) = q—±lkfk = д~2хш(к),
чг
X(E)x(a)=q-2x(a)x(E)-
Окончательно, мы получаем
X(E)X(V) = EFK =
qz
FEK + \(К- K~l)K =
= _<L_f± FKE -К2) =
= -<Г2 (і -x(v)x(E)-х(сс)х(к)).
Отсюда следует, что х является гомоморфизмом алгебр.
Для доказательства того, что х уважает коумножение и антипод, снова достаточно проверить это на образующих. Для Е, К и а это очевидно. Таким образом, осталось только проверить случай 77, для которого имеем
= lzS- =
г
= (1 О FK + FK ® К) =
4і
= х(1) ® x(v) + x(v) ® x(0f) = = (х ®х) (Afo))-
Аналогично,
q-q-
x(s(v)) = -xfo«'1) = ,-1
F =
Я2
V-J^-S(K)S(F) = Г288
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
= IZjfls(FK) =
= S(x(v)). ?
Мы готовы получить следующий вывод, который и является здесь нашей основной целью.
Следствие 9.6.7. Алгебра Хопфа Uq является сплетенной.
Доказательство. Алгебра Хопфа D = D(Bq) является сплетенной по теореме 4.3. Пусть Rd Є D ® D — ее универсальная Д-матрица. Зададим обратимый элемент R в Uq ®Uq формулой
r=(x®x)(rd). (6.7)
Тале как отображение х есть эпиморфизм алгебр Хопфа, ясно, что R удовлетворяет условиям (8.2.1)-(8.2.3). ?
Мы вычислим универсальную A-матрицу R алгебры Хопфа Uq в следующем параграфе.
9.7. Я-Матрицы для Uq
Мы сохраняем обозначения и предположения параграфа 6. Теорема 9.7.1. Универсальная R-матрица для Uq есть
R=I Y^ (q~q 1^fc QKk-l)/2+2k(i-j)-2ij EkKi ф pkKi ^ ffcl!
^ 1
d ^ J [fcl!
Доказательство. Согласно сказанному в параграфе 4, мы имеем Rd = J^ielе* ® е*' гДе {еі}іє/ — произвольный базис векторного пространства Bq, а {е1}іе/ — дуальный к нему базис. Следовательно, из (6.7) мы получаем
я = ?хЫ®х(е'). (7.1)
ІЄІ9.7. R-Матприцы для Uq
289
Как и выше, возьмем за базис в Bq семейство {-fi^iPjo^ij^d-i- Обозначим через {/З^іо^іj^d-i двойственный базис. Из предложения 6.2 мы знаем, что существуют скаляры такие, что
?ij= E Aig^oj. (7.2)
OsJfc1JsJd-I
Применим соотношение (7.2) к вектору EmKn-. используя лемму 6.3, мы получим следующую систему линейных уравнений
SimSjn = E 6Um)Wl{k+n) = OsJJMsJd-I
= мЦ E ^1(т+п))-
OsJisJd-I
Рассуждение, аналогичное тому, с помощью которого в предложении 6.2 была доказана линейная независимость семейства {г7га-?}о^гj^d-i, показывает, что = 0 для т ф і. Вычисление коэффициентов , которые удовлетворяют системе линейных уравнений
Eija2i(»+n) _ 1 g ^ 4 ~ Ml о
требует обратить матрицу Вандермонда. Мы не будем здесь этого делать, поскольку нам нужна R, а не Rd . Вместо этого мы используем более прямой и простой метод.
Действительно, из приведенного выше рассуждения мы знаем, что R есть тензор вида
R= E ^x(EiKi)QxWa1).
OsJij,isJ<i-l
Заметим, что элемент xiv1®1) пропорционален FlK%+l. Следовательно, R можно записать в более определенном виде14
R= E cVkEkKi <g> FkKK
Далее мы вычислим коэффициенты cyfc¦ Утверждение теоремы 7.1 будет- следовать из леммы 7.2. ?
Напомним, что х{Е'К') = EiKj согласно (6.6). — Прим. ред.290
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Лемма 9.7.2. Для всех г, j, к мы имеем
е.... - 1 (Я - Я'1)* k(k—l)/2+2k(i—i)—2ii ^k ~d [fc]! 4
Доказательство, (а) Сначала мы выразим cijk через с = сооо, используя соотношение