Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Ik(LbL2) = ^e(P), р
где P пробегает все пересечения компонент Li и L2. Это число не зависит от проекции и является изотопическим инвариантом зацеплений, имеющих две компоненты. Например, мы имеем Ik(OO) = О для тривиального зацепления порядка 2 и Ik(H) = 1 для зацепления Хопфа, изображенного на рис. 2.3. Следовательно, зацепление Хопфа нетривиально.
X X
є(Р) = +1 S(P) = -I
Рис. 10.2.2. Коэффициент зацепления Рис. 10.2.3. Зацепление Хопфа
(в) (Фундаментальная группа зацепления.) Определим 7r(L) как фундаментальную группу и\ (IR3 \ L) дополнения к зацеплению L в M3 (определение фундаментальной группы дано в параграфе 9). Группа 7г(0) тривиального узла изоморфна Z. Вообще, группа тривиального зацепления порядка т изоморфна свободной группе Fm от т образующих. По самому определению изотопии фундаментальная группа зацепления является изотопическим инвариантом. Этот инвариант очень сильный, как видно из теоремы Дэна, утверждающей, что зацепление L порядка т тривиально тогда и только тогда, когда 7r(L) = Fm. В общем случае группа зацепления не является абелевой. Несмотря на то, что по данной проекции зацепления L на плоскость можно указать образующие и соотношения, задающие группу к(L), для распознавания зацеплений эти данные использовать затруднительно. Дальнейшие подробности см. в [Bir74] и [BZ85]. 10.3. Диаграммы зацеплений
307
(г) (Многочлены Александера и Конвея.) В 1928г. Александер для каждого зацепления L построил многочлен Al Є Z[t,t-1], определяемый с точностью до знака и умножения на степень t, и доказал, что этот многочлен — изотопический инвариант [А1е28]. Этот инвариант является довольно эффективным средством для различения неэквивалентных зацеплений. В 1970 г. Конвей [Соп70] показал, что после подходящей перенормировки многочлен Александера имеет вид Ai(t) = VL(t — где VL{z) есть многочлен из Z[z], называемый теперь многочленом Конвея. Кроме того, многочлен Конвея имеет простое определение в терминах скейн-соотношений16 , которые будут описаны в параграфе 4.
10.3. Диаграммы зацеплений
Простейший способ изображения зацеплений в M3 состоит в представлении их плоскими диаграммами. Мы уже использовали технику диаграмм в параграфах 1, 2. Теперь мы определим то, что называется диаграммой зацепления. Сначала мы введем понятие регулярной проекции.
Определение 10.3.1. (а) Проекцией П зацепления называется объединение конечного числа простых замкнутых ломаных линий на плоскости R2 таких, что никакая вершина не лежит на внутренней части какого-либо ребра. Перекресток в П — это точка P проекции зацепления, лежащая внутри как минимум двух ребер. Порядок перекрестка P — это число различных ребер, внутри которых лежит Р.
(б) Проекция зацепления называется регулярной, если каждый перекресток имеет порядок в точности 2.
Нетрудно видеть, что перекресток не может быть вершиной, и что проекция зацепления может иметь лишь конечное число перекрестков. Упорядочение вершин каждой из компонент будем представлять стрелками на ребрах проекции зацепления, расставленных согласно правилу из параграфа 1.
16 «Skein relations» по смыслу можно перевести как «соотношения запутанности клубка», но мы для краткости будем использовать термин «скейн-соотношения». — Прим. ред. 308
Глава 10. Узлы, зацепления, плетения и косы
Пусть П — регулярная проекция зацепления на плоскости. Для данного перекрестка P мы можем рассмотреть множество Ер, состоящее из двух ребер, на пересечении которых лежит P. A priori множество Ep не упорядочено. Это подводит нас к следующему определению.
Определение 10.3.2. Диаграмма зацепления — это некоторая регулярная проекция зацепления в плоскости R2, на которой все множества Ep (пронумерованные перекрестками Р) упорядочены. Для данного перекрестка P первое в этом упорядочении ребро множества Ep считается проходящим сверху (переходом), а второе — проходящим снизу (проходом).
Заметим, что ребро, являющееся переходом для одного перекрестка, может быть проходом для другого. Перемена упорядочения в некоторых множествах Ep будет называться сменой прохождений. Если регулярная проекция зацепления имеет т перекрестков, то, очевидно, она превращается в диаграмму зацепления 2Ш способами.
Для изображения диаграммы зацепления мы рисуем регулярную проекцию зацепления, в которой проходы прерываются в окрестности соответствующего перекрестка (как на рис. 2.1 и 2.3). Из такого рисунка видно, что любая диаграмма зацепления задает зацепление в M3, если считать, что в окрестности каждого перекрестка проход располагается под переходом. Это правило определяет зацепление с точностью до изотопии. Нет оснований для того — и, вообще говоря, это не так, — чтобы две диаграммы, получающиеся друг из друга сменой прохождений, задавали эквивалентные зацепления. Тем не менее необходимо отметить следующее.
Лемма 10.3.3. Сменой прохождений любую диаграмму можно превратить в диаграмму тривиального зацепления в R3.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму зацепления. Выберем произвольную вершину и будем двигаться от нее вдоль зацепления, закрашивая проходимые ребра. В каждом перекрестке будем по необходимости менять прохождение так, что вновь закрашенное ребро будет переходом, если другое ребро не было окрашено ранее, и проходом в противном случае. Применим эту процедуру к каждой связной компоненте. Полученная диаграмма (отличающаяся от первоначальной сменой прохождений) представляет тривиальное зацепление. ? 10.3. Диаграммы зацеплений
