Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
A3 = к{а, Ъ, c}/(ba — qab, са — qac, cb — be).
Алгебра Ax по тривиальным соображениям есть расширение Ope алгебры Ao. Пусть ai — автоморфизм алгебры Ai такой, что «і(а) = qa.
Лемма 4.4.2. Имеет место изоморфизм между A2 и расширением Ope Al[6,cxi, 0]. Кроме того, множество {a1b3}ij^o является базисом в A2.
Заметим, что алгебра A2 изоморфна квантовой плоскости kg[x,y] (изоморфизм посылает а в х, b в у).
Доказательство. Определим отображение ipi: A2 —> аі,0] формулами ipi (а) = а и ipi (b) = Ь. Так как
<fi(b)<pi(a) — q(pi(a)ip(b) =ba - qab = ai(a)6 — qab = 0,
tpi является гомоморфизмом алгебр. Этот гомоморфизм сюръективен, так как алгебра Ax [b, ai, 0] порождается элементами а и Ь. Чтобы показать, что он является изоморфизмом, нужно только построить линейное отображение фі: А\[Ь,«і,0] —> A2 такое, что ^i0Vi= id- Мы зададим ¦фі на базисе {o'fr^Jij^o алгебры Ai\b, ai,0] равенством ф\(агЪ>) = а1Ъ>.П 4.4. Теоретико-кольцевые свойства Mq(2)
105
Легко проверить, что равенства а2 (a) = qa и а2(Ь) = 6 задают автоморфизм алгебры Аг. Имеет место следующий результат, доказательство которого следует методу доказательства леммы 4.2.
Лемма 4.4.3. Алгебра Аз изоморфна алгебре А2[с, аг,0]; множество {alVck\t j k>o является базисом в A3.
Последний шаг состоит в построении алгебры A4 по A3. Это единственное место, где понадобится ненулевое дифференцирование. Сначала проверяется, что формулы
а3(а) = a, a3(b) = qb, аз (с) = qc
определяют автоморфизм алгебры A3. Зададим оператор S на базисе Ia1Vck}i,j,k^o алгебры A3 формулами 5(b>ck) = 0 и
S{alVck) = {q- q-1)\^^al~1bi+1ck+1 (4.1)
1 — qz
для і > 0. Доказательство следующего утверждения оставляется читателю.
Лемма 4.4.4. Оператор S является аз-дифференцированием алгебры A3.
Из этого результата мы получим следующий.
Лемма 4.4.5. Алгебра A4 = Мд(2) изоморфна расширению Ope A3[d, аз, 5], и {агЫckd1}IJjIc,I^o является базисом в A4.
Доказательство. Положим щ{а) = а, щ{Ь) = Ь, щ(с) = с, </34(с?) = d. Эти формулы определяют эпиморфизм (fi4 из алгебры A4 в расширение Ope Аз[<і, «з, 5] при условии, что (^4(0), щ(Ь), щ{с), щ{й)) есть A3[d, а3,5]-точка алгебры Mq(2). Это условие состоит в выполнении шести соотношений (3.8)-(3.10). Три соотношения, не содержащие d, уже выполнены в A3. Оставшиеся три соотношения, а именно,
db = qbd, de = qcd, da = ad + (q — q~l)bc
выполняются в A3 [rf, аз, по определению аз и S. Для окончания доказательства надо, как и в доказательстве леммы 4.2, построить линейное отображение гр4 такое, что чр4 о ^4 = id. ? 106
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
Утверждение теоремы 4.1 теперь вытекает из лемм 4.2, 4.3 и 4.5, следствия 1.7.4 и теоремы 1.8.3.
4.5. Структура биалгебры на Mq (2)
Мы сейчас снабдим Mq (2) структурой биалгебры. Коумножение и ко-единица будут такие же, как те, что были определены на М(2) в параграфе 1.4 (см. также 3.4).
Теорема 4.5.1. Имеют место гомоморфизмы алгебр
А : Af, (2) Af,(2) ® Af,(2) и є: Af,(2) к,
однозначно определяемые условиями
А(а) = а® а + Ь® с, A(b) = а ® b + Ь ® d, (5.1)
Д(с) = c®a + d®c, A(d) = с® b + d® d, (5.2)
є(о) = e(d) = 1, ?(6) = є(с) = 0. (5.3)
Снабженная этими гомоморфизмами алгебра Mq(2) становится биал-геброй, не являющейся коммутативной и кокоммутативной. Кроме того, мы имеем
A(det,) = det, ® det, и ?(det,) = 1. (5.4)
Соотношения (5.1)-(5.3) можно переписать в сокращенной матричной форме:
(5.5)
где тензорное произведение матриц X — [хг]) и Y = (yij) определяется по формуле (X ® Y)ij = Yk xik ® Vkj-
Доказательство. Чтобы показать, что А является гомоморфизмом алгебр, достаточно проверить, что (Д(а), А(6), Д(с), A{d)) есть М,(2)®М,(2)-точка алгебры М,(2). Это следует из предложения 3.4 (а). 4.6. Алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2)
107
Простое вычисление показывает, что (є(а),є(Ь),є(с),є((1)) есть к-точ-ка алгебры Mq(2), и, следовательно, є также определяет гомоморфизм алгебр.
Теперь мы должны проверить аксиомы коассоциативности и коеди-ницы. Начнем с соотношения
(А ® id)A = (id ® Д)Д. (5.6)
Так как обе части равенства (5.6) являются гомоморфизмами алгебр, достаточно проверить его на образующих о, Ь, с, d. Используя матричную запись, имеем
= ((И.Д,Д)(» J).
Аналогичное рассуждение показывает, что аксиома коединицы следует из матричных равенств
fa Ь \ ( 1 0 \ _ / о Ъ \ _ Ґ 1 0 Wo Ь \ \ с d J \ 0 Iy-Vc dZV0 1 у V с d )'
Что касается вычисления A(det9), то оно получается применением предложения 3.4 (б). ?
4.6. Алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2)
Мы будем действовать по аналогии с параграфом 1.5. Используя квантовый детерминант detg из предложения 3.3, определим алгебры
GLq{2) = Mq(2)[t]/(tdetq-l)
и
SLq(2) = M,(2)/(det, -1) = GLq(2)/(t - 1). 108
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
Для данной алгебры R определим R-точку алгебры GLq(2) (соответственно SLq(2)) как Д-точку т = (А, В, С, D) алгебры Mq(2), с квантовым детерминантом
обратимым в R (соответственно равным 1). Обозначая GLq(2) и SLq(I) через Ggi мы видим, что множество Д-точек алгебры Gq биективно множеству гомоморфизмов НоюAig(Gq, R) из алгебры Gq в R.
