Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(г) Пусть С — кокоммутативная коалгебра, / — линейное отображение из С в V. По аналогии с предыдущим пунктом определите подкоалгебру S' С T', докажите существование и единственность гомоморфизма коалгебр / : С —> S1(V) такого, что / = pv 0 /•
4. (Градуированное двойственное векторное пространство.) Градуированное двойственное к градуированному линейному пространству V = фп>0 Vn — это градуированное линейное пространство V*r = 0n>o V*. Пусть W = ©п^о Wn ~ другое градуированное пространство. Покажите, что на тензорном произведении V <8> W имеется градуировка такая, что
(v®w)n= 0 ViQWj.
i+j=n
Докажите, что Vgr Q Wgr = (V Q W)*gr, если все пространства Vn конечномерны.
5. (Градуированная коалгебра.) Мы сохраняем обозначения из предыдущего упражнения. Коалгебра (С, А, є) называется градуированной, если в ней выделены подпространства (Cn)n^о такие, что С = ©„^о Cn и A(Cn) С 0I+j=n C1 <g> Cj для всех п)0и є(С„) = {0} для всех п > 0.
(а) Докажите, что градуированное двойственное линейное пространство к градуированной коалгебре имеет естественную структуру градуированной алгебры.
(б) Пусть А = фп>0 An — градуированная алгебра, в которой все слагаемые An конечномерны. Докажите, что градуированное двойственное к А векторное пространство имеет естественную структуру коалгебры.
(в) Проверьте, что коалгебра С из упражнения 2 является градуированной двойственной к алгебре многочленов k[t]. 88
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
(г) (Биалгебра относительно перетасовок.) Пусть F — конечномерное векторное пространство. Покажите, что тензорная коалгебра T1(V) из упражнения 3 является градуированной двойственной к алгебре T(V). Выведите отсюда, что T'(V) имеет структуру биалгебры с умножением
(vi ® ... (8) Vp)(vp+1 ® ... ® vp+q) = Y v<r( 1) ® • • • ® Mp+?) >
а
где vi,... ,VpJrq — элементы V, а а пробегает все (р,«^-перетасовки из симметрической группы Sp+q.
(д) В тех же предположениях, что и выше, покажите, что S1(V) и Л'(У) — подбиалгебры в T1(V), для которых S(V) и A(F) соответственно являются градуированными двойственными.
6. (Алгебра относительно свертки.) Пусть G — конечная группа. Зададим умножение на векторном пространстве C(G) комплекс-но-значных функций на G с помощью свертки:
(//O(Z) = EzMAy"1*),
yeG
где X Є G, f, /' Є C(G). Покажите, что C(G) имеет структуру алгебры Хопфа такую, что линейное отображение / YlxeG f(x)x является изоморфизмом между C(G) и групповой алгеброй Хопфа C[G]. Определите единицу, коумножение, коединицу и антипод алгебры C(G).
7. (Пример некоммутативной и некокоммутативной алгебры Хопфа.) Пусть H — фактор-алгебра свободной алгебры k{t,x} по двустороннему идеалу, порожденному t2 — 1, X2, xt+tx. Докажите, что H — четырехмерное линейное пространство и формулы
A(t) = t®t, А(х) = 1 (8 X + х (81, e(t) = 1, є(х) = 0, S(t) = t, S(x) = tx
определяют на H структуры алгебры Хопфа с антиподом S порядка 4. Эта алгебра Хопфа называется свидлеровской.
8. (Свертка и композиция.) Рассмотрим гомоморфизм алгебр f: А —> А' и гомоморфизм коалгебр д: С' —> С. Докажите, что 2.6. Упражнения
89
отображение /і и / oftoj из Hom(C1A) в Нот(С',А') является гомоморфизмом алгебр с операцией свертки *.
9. Покажите, что гомоморфизм биалгебр из одной алгебры Хопфа в другую обязательно является гомоморфизмом алгебр Хопфа. (Указание: докажите равенство Sof = f о 5, применяя сверт-КУ c/ = /oid = ido / слева и справа.)
10. Пусть H = (H,fj,,T],A,e,S) — некоторая алгебра Хопфа.
(а) Положим Ip0 = т)є и Ipn = idjj1 (свертка п тождественных гомоморфизмов), если п > 0, и фп = Sесли п < 0. Докажите, что каждое из отображений Ipn является эндоморфизмом алгебр (соответственно коалгебр), если H коммутативна (соответственно кокоммутативна), и что во всех случаях мы имеем Ipn о Ipm = Ipnm для любой пары (тг, m) целых чисел.
(б) Пусть H = к [С], где G — некоторая группа. Покажите, что
Ipn есть эндоморфизм коалгебр, определенный как ipn(g) = дп
(в) Пусть H = 5(F) — симметрическая алгебра. Тогда 1рп(х) = = ndx для любого X Є Sd(V).
(г) Покажите, что в случае H = SL(2) эндоморфизм алгебр ярп определяется из матричных соотношений
11. Пусть H — алгебра Хопфа, А — некоторая коммутативная алгебра, и С — кокоммутативная коалгебра. Докажите, что множество HomAig (Н, А) гомоморфизмов алгебр (соответственно множество Homcog(C, Н) гомоморфизмов коалгебр) есть группа с операцией свертки и обратным элементом к /, равным / о 5 (соответственно S о /).
С9 є G).
если п > О,
и
если п < 0. 90
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
12. Пусть А — коммутативная алгебра.
(а) Пусть V — конечномерное векторное пространство. Рассмотрим симметрическую алгебру S(V) со структурой алгебры Хопфа, описанной в примере 4 параграфа 3. Докажите, что группа HomAjg(5(F),yl) изоморфна аддитивной группе пространства J4dim(v).
(б) Покажите, что группа HomAjg (k[Z], А) изоморфна группе обратимых элементов алгебры А, где k[Z] — групповая алгебра Хопфа группы целых чисел.
(в) Пусть С — алгебра Хопфа, приведенная в упражнении 2. Найдите группу НотAig(С, А).
