Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(i) (антисимметрия)
[х,у] = -[у, ж],
(ii) (тождество Якоби)
[ж, [у, z\] + [у, [z, я]] + [z, [ж, у}) = 0.
(б) Подалгебра JIu L' алгебры Ли L — это подпространство L' в L такое, что для любой пары (х,у) Є L' х L' мы имеем [х,у] Є L'. Идеал I алгебры Ли L — это подпространство IbL такое, что для любого элемента (х, у) Є L х / мы имеем [х, у] Є I.
8 То есть с нулевым следом. — Прим. ред. 120
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
(в) Гомоморфизмом алгебр JIu / из алгебры Ли L в алгебру Ли L' называется линейное отображение / : L —> L' такое, что /([ж, у}) = = [f(x),f(y)] для всех х,у Є L.
(г) Алгебра Ли называется абелевой, если коммутатор тождественно нулевой.
Приведем несколько примеров алгебр Ли.
1. Если LhL' — алгебры Ли, мы задаем коммутатор на их прямой сумме L © L' по формуле
[(х,х'),(у,у')] = ([я, у], [х', у'})
для х,у Є L и х',у' Є L'. Канонические включения L и L' в L © L' и канонические проекции L ф L' на L и на L' являются гомоморфизмами алгебр Ли.
2. Для данной алгебры Ли L определим противоположную алгебру Ли Lop на том же векторном пространстве L с коммутатором [ -, ¦ ]ор, заданным формулой
[*,у]ор = [У'х\ = -[xM-
Линейное отображение ор(ж) = —х является изоморфизмом из алгебры Ли L в Lop.
3. Пусть I — некоторый идеал алгебры Ли L. Тогда существует, и притом единственная, структура алгебры Ли на фактор-пространстве L/J такая, что каноническая проекция из L на L/I является гомоморфизмом алгебр Ли.
4. Пусть / : L —> L' — гомоморфизм алгебр Ли. Тогда его ядро Кег(/) является идеалом в L, образ Im(/) — подалгеброй в L', а индуцированное отображение L/ Кег(/) —> Im(/) — изоморфизмом алгебр Ли.
5. Пусть А — некоторая (ассоциативная) алгебра. Положим [a, b] = ab — ba для всех а, b Є А. Легко показать, что это билинейное отображение антисимметрично и удовлетворяет тождеству Якоби. Мы также имеем соотношение [a, be] = [а, b]c + b[a, с] для всех а, Ь, с Є А. Эта алгебра Ли будет обозначаться через L(A).
Для произвольного векторного пространства V мы обозначаем алгебру Ли L(End(Vr)) всех его линейных эндоморфизмов через gl(F). Если пространство V имеет конечную размерность п, то алгебра gl(V) 5.2. Обертывающие алгебры
121
изоморфна алгебре Ли fll(n) = L(Mn(к)) матриц пхп с элементами из поля к. Очевидно, что коммутатор двух матриц с нулевым следом также имеет нулевой след. Следовательно, линейное пространство sl(n) бесследовых матриц пхп является подалгеброй Ли в fll(n).
5.2. Обертывающие алгебры
С каждой алгеброй Ли L мы связываем (ассоциативную) алгебру U(L), называемую обертывающей алгеброй 9 алгебры Ли L, вместе с гомоморфизмом алгебр Ли Il- L —>• L(U(L)). Обертывающая алгебра определяется следующим образом. Пусть I(L) — двусторонний идеал тензорной алгебры T(L), порожденный элементами вида ху — ух — [х,у], где X, у — элементы L. Положим
U(L)=T(L)II(L).
Образующие идеала I(L), представленные выше, не являются однородными для градуировки алгебры T(L), определенной в параграфе 2.5. Следовательно, обертывающая алгебра не имеет градуировки, согласованной с градуировкой тензорной алгебры. Тем не менее U(L) имеет фильтрацию, будучи фактор-алгеброй алгебры T(L).
Определим отображение ii как композицию канонического включения L в T(L) и канонического эпиморфизма тензорной алгебры на обертывающую алгебру. По определению ii мы имеем ii([x,y]) = ху — ух, то есть г і является гомоморфизмом алгебр Ли.
Пример 1. Если алгебра Ли L абелева, то U(L) совпадает с симметрической алгеброй S(L). В частности, если L — нулевая алгебра Ли {0}, то t/({0}) = к. Мы также имеем U(Lop) = U(L)0р.
Теперь мы сформулируем свойство универсальности U(L).
Теорема 5.2.1. Пусть L — алгебра Ли. Для любой ассоциативной алгебры А и произвольного гомоморфизма f из L в алгебру JIu L(A) существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр ф: U(L) —> А такой, что <poiL = f.
9 Эту алгебру обычно принято называть универсальной обертывающей, оставляя термин «обертывающая» для любой ее фактор-алгебры. — Прим. перев. 122
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Обозначим множество гомоморфизмов из алгебры Ли lbl' через Hornue(L,L'). Тогда утверждение теоремы 2.1 можно выразить как существование естественной биекции
HomL/e(L,L(A)) S HomA/g(№M).
Доказательство. Из определения тензорной алгебры следует, что / продолжается до гомоморфизма / из алгебры T(L) в А, заданного формулой f(xі... хп) = f(xі)... f(xn) для xi,... ,хп Є L. Существование ip следует из соотношения f(I(L)) = {0}. Чтобы доказать его, мы должны только убедиться в том, что f(xy — ух — [х,у]) = 0 для любой пары (х, у) элементов L. Но действительно,
f(xy -ух- [х,у]) = f (х) f (у) - f(y)f(x) - f([x,y]),
что равно нулю, так как / есть гомоморфизм алгебр Ли.
Единственность отображения <р следует из того, что L порождает алгебру T(L), а значит, порождает и U(L). ?
Мы выведем два следствия из теоремы 2.1.
Следствие 5.2.2. (а) Для любого гомоморфизма алгебр JIu / : L —>¦ L' существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр U(f): U(L) —> U(Lt) такой, что U(f) о iL = iLt о /. Мы также имеем U(\dL) = idtf(L).
