Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
[х, y]v = x(yv) - y(xv) (2.2)
для х, у Є L и V Є V. Обратно, любое билинейное отображение из LxV в V такое, что соотношение (2.2) выполняется для всех х,у Є L и v є V, определяет L-модуль.
L-модуль V тривиален в смысле определения из параграфа 3.5, если мы имеем xv = 0 для всех X Є L и V Є V. По определению коумножения в обертывающей алгебре, структура L-модуля на тензорном произведении двух L-модулей VnV' задается формулой
x(v <8> Vі) = xv <8 V1 + V ® xv' (2.3)
для X Є L, у Є V и v' Є V'. Согласно формулам из параграфа 3.5, алгебра Ли L действует на Hom(V, V) по формуле
(xf)(v) = xf(v)-f(xv), (2.4)
что можно также записать как p(x)(f ) = [p(x),f] для / є Hom(V,F'). В частности, если V' — тривиальный модуль к, то L действует на двойственном векторном пространстве V* = Hom(F, к) по формуле
(Xf)(V) = -f(xv). (2.5)
Наконец, действие L на самой себе, называемое присоединенным представлением, задается для х,х' E L как
СО СО — ^CC j CC J •
(2.6) 5.3. Алгебра JIu sl(2)
127
5.3. Алгебра Ли sl(2)
Для простоты изложения мы предполагаем до конца этого параграфа, что основное поле к является полем комплексных чисел. Алгебра Ли g[(2) = L(M2(k)) комплексных матриц 2x2 четырехмерна. Четыре матрицы
-(i-0.). '-Ci?
образуют базис в gl(2). Легко вычислить их коммутаторы. Имеем [.X,Y] = H, [Н,Х] = 2Х, [H,Y] = -2Y
и
{I,X] = [I,Y] = [I,H} = 0. (3.1)
Матрицы с нулевым следом образуют подпространство s[(2) в д[(2), порожденное базисом {X,Y,H}. Соотношения (3.1) показывают, что s((2) является идеалом алгебры gl(2) и что имеет место изоморфизм алгебр Ли
gl(2) = st(2) © к/,
который позволяет свести изучение алгебры Ли д[(2) к изучению sl(2).
Обертывающая алгебра U = U(sl(2)) алгебры Ли s((2) изоморфна алгебре, порожденной элементами X,Y,H и тремя соотношениями
[X,Y] = H, [Н,Х}=2Х, [H,Y) = -2Y. (3.2)
Докажем некоторые соотношения в алгебре U.
Лемма 5.3.1. Дляр,ц ^O в U выполнены следующие соотношения:
XpHq = (Я - 2p)qXp, YpHq = (Я + 2p)qYp, [X, Yp] = pYp-\H-р + 1 )=р(Н+р- ljyP-1, [Xp,Y]=pXp-\H+p-l)=p{H-p+l)Xp-\ 128
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Доказательство. Первые два соотношения доказываются обычной двойной индукцией по р и q с использованием равенств XH = (Н — 2)X и YH = (Н + 2)Y, которые представляют собой другую запись коммутационных соотношений (3.2).
Мы докажем третье равенство индукцией по р. Оно верно для р = 1 по тривиальным соображениям. Если р > 1, мы имеем
[X1Yp] = [X, W-1IY+ YP~l[X,Y] =
= (р- 1 )YP~2(H -p + 2)Y + Yp-1H = = Yp~l ({р — 1)(Я — р) + Н) = = pY"-l(H-p + 1).
Для завершения доказательства перебросим Yp~l через Н, используя второе соотношение.
Последние соотношения можно получить из третьего применением автоморфизма а алгебры Ли sl(2), заданного формулами
a(X) = Y, а(у) = X, а(Н) = -Н. (3.3)
?
Предложение 5.3.2. Множество [X1Y3является базисом в U(sl(2)).
Доказательство. Это утверждение является следствием теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта (теорема 2.5). Его можно доказать и по-другому, используя расширения Оре, подобно тому, как это будет сделано в доказательстве предложения 6.1.4. ?
Мы завершаем этот параграф несколькими замечаниями о центре алгебры U. Рассмотрим элемент Казимира, определяемый формулой
H2
С = XY+ YX + - (3.4)
в обертывающей алгебре U.
Лемма 5.3.3. Элемент Казимира С принадлежит центру алгебры U. 5.4. Представления sl(2)
129
Доказательство. Достаточно проверить, что коммутаторы элемента С с Я, X, Y обращаются в нуль. В самом деле,
[Я, С] = [Я, X]Y + Х[Н, Y] + [Я, Y]X + Y[H,X)+1- [Я, Я2] = = 2XY - 2YX - 2YX + 2YX = 0.
Мы также имеем
[X, С) = Х[Х, Y] + [X, Y]X + ±[Х, Я]Я + ІЯ[Х, Я] = = X Я + HX - XH - ЯХ = 0.
Равенство [У, С] = 0 доказывается аналогичным образом. ?
Хариш-Чандра построил изоморфизм центра алгебры U с алгеброй многочленов 1ф]. Этот изоморфизм отправляет С в образующую t (см. например, [ВоибО, гл. 8], или [Dix74, гл. 7]). Как следствие, элемент Казимира порождает центр обертывающей алгебры U. Мы разберем все детали в квантовом случае (см. параграф 6.4).
5.4. Представления sl(2)
Теперь мы предъявим все конечномерные {/-модули. Начнем с определения понятия старшего вектора.
Определение 5.4.1. Пусть V — некоторый fZ-модуль, Л є к — скаляр. Вектор V ф 0 из V называется вектором веса Л, если Hv = Xv. Если, кроме того, мы имеем Xv = 0, то будем говорить, что V — старший вектор веса Л.
Предложение 5.4.2. Любой ненулевой конечномерный U-модуль V имеет старший вектор.
Доказательство. Так как поле к алгебраически замкнуто, а пространство V конечномерно, оператор Я имеет ненулевой собственный вектор w с собственным значением a: Hw = aw. Если Xw — 0, то 130
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
w есть старший вектор, и утверждение доказало. В противном случае рассмотрим последовательность векторов Xn w. Из леммы 3.1 мы имеем
H{Xnw) = (а + 2п) (Xnw).
Таким образом, последовательность (Xnw)n^o состоит из собственных векторов оператора Н, соответствующих различным собственным значениям. Так как пространство V конечномерно, H может иметь только конечное число различных собственных чисел. Следовательно, существует такое п, что XnW ф 0, Xn+lw = 0. Тогда XnW является старшим вектором. ?
