Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
изоморфизм Я-бимодулей. Детали см. в [Abe80], [Swe69]. Глава 4
Квантовая плоскость и ее симметрии
В главе 1 мы определили аффинную плоскость как алгебру, порожденную двумя переменными, X vi у, удовлетворяющими простейшему коммутационному соотношению ух = ху. Это соответствует классическому пониманию плоской геометрии. В этой главе мы рассмотрим модифицированное коммутационное соотношение, зависящее от параметра q, а именно, '
ух = q ху.
Это новое соотношение определяет квантовую плоскость. В параграфе 2 мы выведем несколько равенств, хорошо известных специалистам по комбинаторике и теории линейных g-разностных уравнений. Далее, исследуя преобразования квантовой плоскости, мы построим биалгебру Mq(2) и алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2), которые являются однопара-метрическими деформациями биалгебр М(2), GL(2) и SL(2), определенных в главе 1. Полученные таким образом биалгебры — это наши первые примеры квантовых групп. Они выделяются тем, что являются некоммутативными и некокоммутативными.
4.1. Квантовая плоскость
Пусть q — обратимый элемент основного поля к и Iq — двусторонний идеал свободной алгебры к{х,у}, порожденный элементом ух — qxy. Определим квантовую плоскость как фактор-алгебру
kq[x,y] = k{x,y}/Iq. (1.1)
В случае q ф 1 алгебра kq[x, у] некоммутативна. Если взять в свободной алгебре k{z,у} естественную градуировку, то идеал Iq будет порожден однородным элементом степени два. Отсюда квантовая плоскость имеет градуировку, в которой образующие х и у имеют степень 1. Мы 94
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
обозначим через к9[ж, у]п линейное подпространство элементов алгебры к9[х, у) степени п.
Предложение 4.1.1. (а) Если а — автоморфизм алгебры многочленов к[х] такой, что а(х) = qx, то алгебра к9[х, у) изоморфна расширению Ope к[х][у, а, 0]. Таким образом, алгебра кq[x,y] нётерова, не имеет делителей нуля, и семейство мономов {хгу3}і^^о представляет собой аддитивный базис в алгебре к9[х,у].
(б) Для любой пары (i,j) неотрицательных целых чисел мы имеем
(1.2)
(в) Для произвольной алгебры R над полем к имеет место естественная биекция
HomAjg(k9[x, y],R) S {(Х,У) Є R х R | YX = qXY}. (1.3)
Пара (X, Y) элементов Л, удовлетворяющая соотношению YX = = qXY, будет называться R-точкой квантовой плоскости.
у3хг = qlJ X1 у3.
Доказательство, (а) Мы используем теорию расширений Оре, изложенную в параграфах 1.7, 1.8. Определим гомоморфизм алгебр <р: к{я, у} -» к[х][у, а, 0] равенствами <р(х) = х и <р(у) = у. Так как
<р(у)<р(х) - Q<Р(х)<р(у) = ух — qxy = а{х)у -qxy = 0,
гомоморфизм <р отправляет идеал Iq в 0, задавая, таким образом, гомоморфизм из алгебры kq[x,y], обозначаемый той же буквой (р. Гомоморфизм <р сюръективен, так как расширение Ope к[х][у, а, 0] порождается элементами х и у. Чтобы показать, что tp — изоморфизм, нам нужно только построить линейное отображение ф из к[х][у, а, 0] в к9[х, у] такое, что ф о {р = id. Мы зададим ф на базисе {%*yJ}i,j^o пространства к[х][у, а, 0] по формуле ф(х1у3) = хгу3. Завершение доказательства утверждения (а) извлекается из параграфов 1.7 и 1.8.
Часть (б) доказывается простой индукцией. Утверждение (в) является следствием свойства (1.2.4) и определения (1.1). ? 4.2. Многочлены Гаусса и q-биномиалъная формула
95
Дадим несколько примеров Д-точек квантовой плоскости.
Пример 1. Пусть А — алгебра гладких комплексно-значных функций на С\ {0}, и пусть q — комплексное число, отличное от 0 и 1. Рассмотрим линейные операторы Tg и Sq из R = End(A), определенные как
rq(f)(x) = f(qx) и W)(*) = 7^lffi0-
Пара {т9,5q} является Д-точкой кд[ж, у). «Предел» оператора Sq при q, стремящемся к 1, совпадает с обычной производной d/dx.
4.2. Многочлены Гаусса и g-биномиальная формула
Фиксируем некоторый обратимый элемент q поля к. Для последующих приложений наді нужно уметь вычислять степени х + у в квантовой плоскости кд[х,у]. Для этого мы вводим так называемые многочлены Гаусса, являющиеся многочленами от одной переменной q и принимающие в точке q = 1 значения, равные классическим биномиальным коэффициентам.
Введем некоторые обозначения. Для натурального п положим
(n)q = l + q + ... + qn-1 = ?^-. (2.1)
Определим ^-факториал числа п, полагая (0)!g = 1 и
[пУ-q = (1),(2),... (n)g =-^ _ ^n-, (2.2)
если n > 0. Таким образом, ^-факториал числа п есть многочлен от q с целыми коэффициентами и со значением в q = 1, равным обычному факториалу п\. Определим многочлен Гаусса для 0 ^ к ^ п по формуле
W-
9 (к)!д(п — к)!д
(2.3)
Предложение 4.2.1. Пусть 0 < к < п.
(а) является многочленом от q с целыми коэффициентами
Я і Tl і
и со значением в q = 1, равным биномиальному коэффициенту ( д. J • 96
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
(б) Мы имеем
(в) (q-Тождество Паскаля.) Мы также имеем
(2.5)
Доказательство. Соотношения (2.4), (2.5) получаются простым вычислением. Утверждение (а) доказывается индукцией попе использованием (2.5). ?
Вернемся к квантовой плоскости из параграфа 1 и докажем д-бино-миальную формулу.
