Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
те, что
y'x' = qx'y' и ?'2 = 77'2 = ?'77' + qr)'?' = 0.
.'2
(х + y)d = xd + yd.
9. Пусть H — комплексная *-алгебра Хопфа с коединицей є. Покажите, что є(х*) = є(х) для всех элементов X из Н. 116
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
4.10. Замечания
Материал параграфа 2, связанный с ^-равенствами, а также упражнения 1-3 являются классическими. Мы позаимствовали их из [And76, гл. 3] и из [Cig79].
q-Экспонента является примером q-гипергеометрического ряда или базисного гипергеометрического ряда, то есть формального ряда вида Sn^o anzTl такого, что каждое из отношений ап+\/ап есть рациональная функция от qn (где q — комплексный параметр, отличный от 0 и 1). Базисные гипергеометрические ряды впервые появились в заметке Гейне [Неі46] в 1846 г. С тех пор были найдены д-аналоги большинства классических функций и соотношений. Ф. Джексон [JaclO] ввел понятие q-дифференциального оператора Sq и обратного к нему, который является ^-интегрированием. На сегодняшний день д-ряды появляются в комбинаторике, теории чисел, статистической механике и теории алгебр Ли. На эту обширнейшую тему написано много монографий, например, [GR90], [Sla66] 7.
Оператор tq, введенный в параграфе 2, играет фундаментальную роль в теории линейных ^-разностных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Такое уравнение есть функциональное уравнение вида
п
YPi(^)I(QiZ) = Q(Z), 1=0
где Po(z),... ,Pn(z),Q(z) — многочлены, a f(z) — некоторая функция. Используя оператор тя, можно переписать это уравнение в виде (ЕГ=оР*тдКЯ = Q- Работы Адамса [Ada29j и Тржитзинского [Trj33] являются классическими ссылками по формализму ^-разностных уравнений.
Параграфы 3, 5 и 6 взяты из книги Малина [Мап88]. В параграф 3 мы поместили сердцевину материала первой части этой книги. Биалгебры Mq(2), GLq(2) и SLq(2) из параграфов 5 и 6 зависят от одного параметра. Существуют также двупараметрические версии, такие как
7 См. также [9]. — Прим. ред. 4.10. Замечания
117
алгебра Мр)9(2), порожденная четырьмя образующими a,b,c,d и шестью соотношениями
ba = р ab, db = q bd,
са = q ас, de = р cd,
bc = PQ1-1 cb, ad — da = (q— p) cb.
Она имеет такую же структуру биалгебры, как и М(2). Вместе с дополнительным соотношением ad — р^1 be = 1 мы получаем алгебру Хопфа SLp>q(2) из работы [AST91].
В размерностях п > 2 Решетихин, Тахтаджян, Фаддеев [RTF89] определили биалгебру Mq(n), порожденную образующими и
соотношениями
rj-ipirj-ik _ ^ rpkrpm rjiTllrjrin _ ^ rjnTTlrjnTTl
Tj71Tj = TkTln, TlkT^ - Tf1Tk = (<Г] - g) TlnTk
для і < j и к < т. Коумножение и коединица задаются формулами
A(Ti) = J^Tk и E(Tf) = Sij. fc=i
Алгебра Mq(n) является итерированным расширением Ope и, подобно Mq(2), обладает замечательным групповым элементом, равным
det9 = ^2(-яГ1{а)Т?{1) ...TZW, <r€sn
где 1(a) — длина минимального разложения перестановки а в произведение транспозиций. Квантовый детерминант detg позволяет построить GLq(n) и SLq(n) так же, как в случае п = 2, обсуждавшемся в этой главе. Биалгебра Mq(n) имеет две интересных комодульных алгебры: первая,
Ап\° = !{{жі, ... ,xn)/(xjxi - qxixj для і < j), обобщает квантовую плоскость, в то время как вторая,
A0Jn = ... + qtej для і < j),
обобщает алгебру Ag[?,??] из упражнения 5. 118
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
Обе алгебры А71' и являются примерами квадратичных алгебр, то есть фактор-алгебр свободной алгебры по идеалу, порожденному однородными элементами степени 2. Для таких авторов, как Манин, квадратичные алгебры являются стартовой точкой в теории квантовых групп. Манин сопоставляет каждой квадратичной алгебре универсальную алгебру Хопфа, над которой данная квадратичная алгебра является комодульной алгеброй. Применительно к квантовой плоскости конструкция Манина дает GLq{2). Дальнейшие подробности см. в [Мап87], [Мап88].
Мы только что упомянули квантовую группу SLq(n). Существуют квантовые аналоги всех классических групп и супергрупп Ли. Например, Такеучи [Так89] построил квантовую версию симплектических и ортогональных групп.
Воронович представил структуры *-алгебр Хопфа на квантовых группах в рамках теории С*-алгебр. См. [Wor87b], [Wor87a], [Wor88].
Читатель найдет дальнейшие примеры и подробности, связанные с квантовыми группами, в [AST91], [Ма190], [Ма193], [Man89], [PW91], [Res90], [Sud90], [Так92с]. Глава 5
Алгебра Ли алгебры SL(2)
В этой главе мы исследуем обертывающую алгебру Хопфа U = U(sl(2)) алгебры Ли sl(2) бесследовых8 2x2-матриц. Эта алгебра Хопфа двойственна алгебре SL (2). Мы также опишем конечномерные представления алгебры U. Глава 5 является подготовительной для глав 6, 7, в которых мы построим q-деформацию Uq алгебры U и изучим ее конечномерные представления. Утверждения и доказательства для Uq будут по существу скопированы из этой главы. Мы начнем с того, что напомним классические понятия алгебры Ли и обертывающей алгебры. Как обычно, мы обозначаем основное поле через к.
5.1. Алгебры Ли
Определение 5.1.1. (а) Алгебра JIu L — это векторное пространство с заданным на нем билинейным отображением [ , ]: L х L -> L, называемым коммутатором, удовлетворяющим следующим двум условиям для всех x,y,z Є L:
