Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кассель К. -> "Квантовые группы" -> 31

Квантовые группы - Кассель К.

Кассель К. Квантовые группы — Фазис, 1999. — 698 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantoviegruppi1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 199 >> Следующая


(б) отображение Дд : А —> H ® А есть гомоморфизм алгебр.

Доказательство. Оно аналогично доказательству теоремы 2.1. Сначала мы выразим тот факт, что /лд есть морфизм Я-комодулей с помощью коммутативного квадрата

А® А

?A

H

А А

(AVA) J!4 Н®А,

(7.1)

где и = (?H ® id ® id) о (id ® та,н ® id) о (Дд ® Дд). Утверждение, что 77д является морфизмом Я-комодулей равносильно коммутативности квадрата

VA

VH®VA

> Я<

Ад ) А.

(7.2)

Далее, диаграммы (7.1), (7.2) эквивалентны диаграммам (7.3) ниже, которые выражают условие, что Дд является гомоморфизмом алгебр:

А® А

?A

ДдфДд

(Н ® А)® (Н ® А)

H ® А

VA

VH1SiVA

(7.3)

Ад

> Н® А, 84

Глава 3. Язык алгебр Хопфа

где v = (нн ® и а) ° (id ® тд,я <8 id). Действительно, мы имеем

(id ®/м) ° и = V о (Дд ® Aa)- ?

Используя соглашения параграфов 1 и 6, можно переписать условие (б) предложения 7.2 в виде Дд(1) = 1 ® 1 и

]Р(оЬ)я <8 (аЬ)д = ая?>Я ® «Л^д (7.4)

(ab) (а)(Ь)

для всех a, b Є А.

Теперь мы покажем, как на аффинной плоскости к [ж, у], определенной в параграфе 1.3, задается структура комодульной алгебры над би-алгебрами М(2) и SL (2).

Теорема 3.7.3. На аффинной плоскости А = к [ж, у] существуют, и притом единственные, структуры M(2)-комодульной алгебры, а также SL(2)-комодульной алгебры такие, что

А ( Х — ( а ^ ^ ® (' х

А\ У J ~ \ с d J \У

Эта матричная форма является краткой записью двух соотношений Аа(х) = а®х + Ь®у и Дд(у) = c®x + d®y. (7.5)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим предложение 7.2. Прежде всего, заметим, что формулы (7.5) определяют гомоморфизм алгебр Дд : к [ж, у] —»• —»¦ M(2) ® к[ж,у]. Так как проекция M(2) на SL(2) — также гомоморфизм алгебр, это верно и для композиции к [ж ,у] —> S L (2) ®к[ж,у].

Остается проверить, что Дд задает структуру комодуля, то есть что для всех Z Є к [ж, у] мы имеем

(id® Дд) о Aa(z) = (Д ® id) о Aa(z) и (є ® id) о Aa(z) = 1 ®

(7.6)

где Д и є такие же, как в параграфах 1.4, 1.5. Так как обе части каждого из равенств, которые мы хотим доказать, состоят исключительно из гомоморфизмов алгебр, достаточно проверить (7.6) только в 3.7. Комодульные алгебры. Кодействие SL(2) на аффинной плоскости 85

случаях г = X тя. г = у. Матричная форма записи, приведенная выше, позволяет сделать это одновременно. Из (4.1) мы имеем

= ((Д О id) о ДА) ( ® ) -С другой стороны, применяя (1.5.2), получаем

Вычислим значение Аа(х%У^) в M (2) ®к[ж,у]. Лемма 3.7.4. Для всех i,j ^O имеет место равенство

Aa(X1Vj) = EE ( г ) ( 5 ) аГЬ*~Г(?{?'~* ® xr+syl+3~r~s-г=0 s=0 ^ / V /

Доказательство. Так как Aa — гомоморфизм алгебр, мы имеем

A a(xivj) = Аа(х УАа(уУ = (а®х + Ь® у)1 (с ®x + d® y)j.

Остается применить формулу биномиальных коэффициентов. ?

Обозначим через к[ж, у]п подпространство однородных многочленов степени п в А = к [ж, у]. Лемма 7.4 означает, что к \х,у]п является под-комодулем аффинной плоскости, поскольку

АА(к[х,у]п) С М(2) ®к[х,у]п.

На самом деле, M (2)-(соответственно 5і(2)-)комодуль к [ж, у] есть прямая сумма комодулей к[х,у]п.

Согласно примеру 2 из параграфа 6, дуальное векторное пространство к[г,у]* комодуля к[х,у\п имеет структуру модуля над алгеброй SL(2)*, двойственной к коалгебре SL(2). Мы изучим этот модуль в параграфе 5.7. 86

Глава 3. Язык алгебр Хопфа

3.8. Упражнения

1. (Тензорное произведение коалгебр.) Пусть (С, А, є) и (C", А', є') — некоторые коалгебры. Покажите, что линейные отображения 7Г: С ® С' —С и 7г': С ® С' —> С", определенные формулами 7г(с <8> с') = е'(с')с и 7г'(с <8> с') = є(с)с', являются гомоморфизмами коалгебр и что коалгебра С® С' удовлетворяет следующему свойству универсальности: для любой кокоммутативной коалгебры D и любой пары / : D —> С и /': D —»• С гомоморфизмов коалгебр существует, и притом единственный, гомоморфизм коалгебр f ®f : D-* С® С' такой, что тг о (/ <g> /') = / и тг' о (/ ® /') = /'.

2. (Разделенные степени.) Рассмотрим линейное пространство С = = k[t] многочленов от одной переменной. Докажите, что существует, и притом единственная, структура коалгебры (С, А, є) на С такая, что

A(tn)= tp®tq и e(tn)=6nо

p+g=n

для всех n ^ 0. Покажите, что С становится биалгеброй, если задать умножение формулой5

Найдите антипод.

3. (Тензорная коалгебра.) Пусть V — линейное пространство.

(а) Покажите, что канонические изоморфизмы y®("+m) ^ S V®n ® V®m снабжают T'(V) = 0n^o V®71 и T1(V) = = Пп>о структурами коалгебр. Коалгебра T1(V) называется тензорной коалгеброй пространства V.

(б) Пусть pv — каноническая проекция пространства T1(V) на V. Докажите, что для любой коалгебры С и произвольного линейного отображения f: С —ї V существует, и притом единственный, гомоморфизм коалгебр /: С —> T'(V) такой, что / = pv о f.

5 k[t] с таким умножением называется алгеброй разделенных степеней. —

Прим. ред. 2.6. Упражнения

87

(в) Используя обозначения упражнения 7 из главы 2, определите подпространство S'(V) = ©n>o -S1^(F) (соответственно Л'(У) = 0„>o^(F)) в T1(V), порожденное всеми симметрическими (соответственно кососимметрическими) тензорами. Покажите, что S1(V) и A'(F) — подкоалгебры в T1(V).
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 199 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed