Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(б) отображение Дд : А —> H ® А есть гомоморфизм алгебр.
Доказательство. Оно аналогично доказательству теоремы 2.1. Сначала мы выразим тот факт, что /лд есть морфизм Я-комодулей с помощью коммутативного квадрата
А® А
?A
H
А А
(AVA) J!4 Н®А,
(7.1)
где и = (?H ® id ® id) о (id ® та,н ® id) о (Дд ® Дд). Утверждение, что 77д является морфизмом Я-комодулей равносильно коммутативности квадрата
VA
VH®VA
> Я<
Ад ) А.
(7.2)
Далее, диаграммы (7.1), (7.2) эквивалентны диаграммам (7.3) ниже, которые выражают условие, что Дд является гомоморфизмом алгебр:
А® А
?A
ДдфДд
(Н ® А)® (Н ® А)
H ® А
VA
VH1SiVA
(7.3)
Ад
> Н® А,84
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
где v = (нн ® и а) ° (id ® тд,я <8 id). Действительно, мы имеем
(id ®/м) ° и = V о (Дд ® Aa)- ?
Используя соглашения параграфов 1 и 6, можно переписать условие (б) предложения 7.2 в виде Дд(1) = 1 ® 1 и
]Р(оЬ)я <8 (аЬ)д = ая?>Я ® «Л^д (7.4)
(ab) (а)(Ь)
для всех a, b Є А.
Теперь мы покажем, как на аффинной плоскости к [ж, у], определенной в параграфе 1.3, задается структура комодульной алгебры над би-алгебрами М(2) и SL (2).
Теорема 3.7.3. На аффинной плоскости А = к [ж, у] существуют, и притом единственные, структуры M(2)-комодульной алгебры, а также SL(2)-комодульной алгебры такие, что
А ( Х — ( а ^ ^ ® (' х
А\ У J ~ \ с d J \У
Эта матричная форма является краткой записью двух соотношений Аа(х) = а®х + Ь®у и Дд(у) = c®x + d®y. (7.5)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим предложение 7.2. Прежде всего, заметим, что формулы (7.5) определяют гомоморфизм алгебр Дд : к [ж, у] —»• —»¦ M(2) ® к[ж,у]. Так как проекция M(2) на SL(2) — также гомоморфизм алгебр, это верно и для композиции к [ж ,у] —> S L (2) ®к[ж,у].
Остается проверить, что Дд задает структуру комодуля, то есть что для всех Z Є к [ж, у] мы имеем
(id® Дд) о Aa(z) = (Д ® id) о Aa(z) и (є ® id) о Aa(z) = 1 ®
(7.6)
где Д и є такие же, как в параграфах 1.4, 1.5. Так как обе части каждого из равенств, которые мы хотим доказать, состоят исключительно из гомоморфизмов алгебр, достаточно проверить (7.6) только в3.7. Комодульные алгебры. Кодействие SL(2) на аффинной плоскости 85
случаях г = X тя. г = у. Матричная форма записи, приведенная выше, позволяет сделать это одновременно. Из (4.1) мы имеем
= ((Д О id) о ДА) ( ® ) -С другой стороны, применяя (1.5.2), получаем
Вычислим значение Аа(х%У^) в M (2) ®к[ж,у]. Лемма 3.7.4. Для всех i,j ^O имеет место равенство
Aa(X1Vj) = EE ( г ) ( 5 ) аГЬ*~Г(?{?'~* ® xr+syl+3~r~s-г=0 s=0 ^ / V /
Доказательство. Так как Aa — гомоморфизм алгебр, мы имеем
A a(xivj) = Аа(х УАа(уУ = (а®х + Ь® у)1 (с ®x + d® y)j.
Остается применить формулу биномиальных коэффициентов. ?
Обозначим через к[ж, у]п подпространство однородных многочленов степени п в А = к [ж, у]. Лемма 7.4 означает, что к \х,у]п является под-комодулем аффинной плоскости, поскольку
АА(к[х,у]п) С М(2) ®к[х,у]п.
На самом деле, M (2)-(соответственно 5і(2)-)комодуль к [ж, у] есть прямая сумма комодулей к[х,у]п.
Согласно примеру 2 из параграфа 6, дуальное векторное пространство к[г,у]* комодуля к[х,у\п имеет структуру модуля над алгеброй SL(2)*, двойственной к коалгебре SL(2). Мы изучим этот модуль в параграфе 5.7.86
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
3.8. Упражнения
1. (Тензорное произведение коалгебр.) Пусть (С, А, є) и (C", А', є') — некоторые коалгебры. Покажите, что линейные отображения 7Г: С ® С' —С и 7г': С ® С' —> С", определенные формулами 7г(с <8> с') = е'(с')с и 7г'(с <8> с') = є(с)с', являются гомоморфизмами коалгебр и что коалгебра С® С' удовлетворяет следующему свойству универсальности: для любой кокоммутативной коалгебры D и любой пары / : D —> С и /': D —»• С гомоморфизмов коалгебр существует, и притом единственный, гомоморфизм коалгебр f ®f : D-* С® С' такой, что тг о (/ <g> /') = / и тг' о (/ ® /') = /'.
2. (Разделенные степени.) Рассмотрим линейное пространство С = = k[t] многочленов от одной переменной. Докажите, что существует, и притом единственная, структура коалгебры (С, А, є) на С такая, что
A(tn)= tp®tq и e(tn)=6nо
p+g=n
для всех n ^ 0. Покажите, что С становится биалгеброй, если задать умножение формулой5
Найдите антипод.
3. (Тензорная коалгебра.) Пусть V — линейное пространство.
(а) Покажите, что канонические изоморфизмы y®("+m) ^ S V®n ® V®m снабжают T'(V) = 0n^o V®71 и T1(V) = = Пп>о структурами коалгебр. Коалгебра T1(V) называется тензорной коалгеброй пространства V.
(б) Пусть pv — каноническая проекция пространства T1(V) на V. Докажите, что для любой коалгебры С и произвольного линейного отображения f: С —ї V существует, и притом единственный, гомоморфизм коалгебр /: С —> T'(V) такой, что / = pv о f.
5 k[t] с таким умножением называется алгеброй разделенных степеней. —
Прим. ред.2.6. Упражнения
87
(в) Используя обозначения упражнения 7 из главы 2, определите подпространство S'(V) = ©n>o -S1^(F) (соответственно Л'(У) = 0„>o^(F)) в T1(V), порожденное всеми симметрическими (соответственно кососимметрическими) тензорами. Покажите, что S1(V) и A'(F) — подкоалгебры в T1(V).