Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 4.6.1. Соотношения (5.1)-(5.3), определяющие коумножение А и коединицу є в Mq(2), порождают в алгебрах GLq(2) и SLq(2) структуру алгебр Хопфа такую, что антипод S задается в матричной форме следующим образом:
Доказательство, (а) Сначала мы должны показать, что отображения А и є корректно определены на GLq(2) и SLq(2). Для SLq(2) это получается следующим вычислением: согласно (5.4)
и є (det, —1) = 0. Аналогичный аргумент работает и для GLq(2), если положить
Аксиомы коассоциативности и коединицы в GLq(2) и SLq(2) выполняются, так как они уже выполнены в Mq (2).
(б) Остается проверить, что GLq(2) и SLq(2) имеют антиподы. Положим
S1(O) = d, S'(b) = -qb, S1(C) = —q~1c, S'(d) = a. (6.3)
По предложению 3.4 (в) четверка (S'(a), S'(b), S'(c), S'(d)) есть Mq(2)ор-точка алгебры Mq(2). Следовательно, S' задает гомоморфизм из.алгебры Mq(2) в Mq(2)ор. Далее, продолжим S' на GLq(2) и SLq(2),
Det,(m) = AD- q~1BC,
(6.1)
A (det, -1) = (det, -1) ® det, +1 ® (det, -1)
A (t)=t®t и ?(t) = 1.
(6.2)4.6. Алгебры Хопфа GLq(2) и SLq(2)
109
полагая S'(t) = t. Получим корректно определенный гомоморфизм, поскольку
S'{t)S'{ det,) = {S'{d)S'{a)-q-1 S1 (с) S'{Ь)) S'[t) = {ad-q~lbc)t = 1.
Так как квантовый детерминант является обратимым центральным элементом В Gq = GLq(2) и SLq(2), то можно определить гомоморфизм S из алгебры Gq в Gqp, полагая S(t) = t"1 и
/ 5(a) ад \ _ det —і ( S'(a) S'{b) \_det-i( d -qb \ Uw S(d) ) ~det* U'W S'{d) ) ~ 9 {-q-'c a )'
Наконец, чтобы проверить, что S является антиподом, достаточно согласно лемме 3.3.6 работать только с образующими а, Ь, с, d. Соотношения (3.3.3) равносильны матричным равенствам
a b
с d
-q 1c
-qb а
det
-q iC
1 0 0 1
-qb а
a b с d
?
В отличие от операции взятия обратного элемента в группе и антипода в GL(2) и SL(2), антипод S в GLq(2) и SX,(2) в общем случае не является инволюцией. Действительно, из (6.1) мы получаем
( S2n (a) S2n(b) \_( a q2nb \ V S2n (с) S2n [d) ) - \ q~2nc d J
} Qn 0 \( a b\( q~n 0 \
V 0 <ГП J{ с d J { 0 qn J
для любого натурального п. Зафиксируем некоторое п и возьмем в качестве q примитивный корень из единицы степени п. Мы получим тогда пример алгебры Хопфа, в которой квадрат антипода имеет порядок п. Результаты, связанные с порядком S2, предшествующие эре квантовых групп, см. в [Rad76], [Taf71], [TW80].110
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
4.7. Ко действие на квантовой плоскости
Мы видели в параграфе 3.7, что аффинная плоскость к[х, у] является комо дульной алгеброй над каждой из биалгебр М{ 2) и SL( 2). Сейчас мы дадим квантовый аналог этого результата.
Теорема 4.7.1. На квантовой плоскости А = кд[х,у] имеются, и притом единственные, структуры Мд{2)-комодульной алгебры и ЗЬд(2)-комодулъной алгебры такие, что
аа(х) = а ® X + 6® у и Ад (у) = с® х + d<8>y.
Мы перепишем эти равенства в матричной форме
Доказательство. Воспользуемся предложением 3.7.2. Сначала убедимся в том, что формулы (7.1) определяют гомоморфизм Ад из алгебры А в Мд(2)®А. Достаточно проверить, что в Мд(2)®А выполняется соотношение
Так кале проекция Mg(2) на SLg(2) является гомоморфизмом алгебр, результирующее отображение А —» SLg(2) ® А — также гомоморфизм.
Остается проверить, что Ад определяет структуру комодуля на квантовой плоскости. Это делается точно так же, как в доказатель-
(7.1)
Дд(у)Дд(х) = <7 Ад(х)Дд(у). Но действительно, применяя (3.2)-(3.4), имеем
Дд(у)Дд(сс) = (с ® X + d ® у) (а ® з; + 6 ® у) =
= q,(a®x + b®y)(c®x + d®y) =
= qAA{x)AA{y).
стве теоремы 3.7.3.
?4.8. *-Алгебры Хопфа
111
Приведем квантовую версию леммы 3.7.4. Лемма 4.7.2. Для i,j ^ 0 мы имеем
A Aix1Vj) = EE <l{i~r)S (і) (І) агЬ^гс30?~3 ® xr+syi+i-r~s. г=О S=O V Jqi \ Jqi
Доказательство. Сначала заметим, что AAix1Vj) = Ад(хуаа(уу, так кале Ад является гомоморфизмом алгебр. Далее, в алгебре Мд(2)®А мы имеем
(6 ® у)(а ® х) = д2 (а ® х)(6® у) и (d ® у)(с ® х) = q2 (с ® x)id ® у).
Это позволяет применить предложение 2.2 к обоим равенствам
Ад(х)1 = (а® X + 6®у)г и Ад(у)-7 = ic®a + d®y)j. ?
Обозначим через kg[x,y]n подпространство элементов степени п в А = kg[x, у]. Из леммы 7.2 мы видим, что кд[х,у]п является подкомо-дулем квантовой плоскости. В действительности квантовая плоскость есть прямая сумма комодулей к9[х, у\п. Согласно примеру 2 из параграфа 3.6 двойственное векторное пространство к9[х, у]* является модулем над алгеброй SLq{2)*, двойственной к коалгебре SLgi2). Мы изучим этот модуль в параграфе 7.5.
4.8. *-Алгебры Хопфа
Всюду в этом параграфе предполагается, что основное поле к является полем комплексных чисел С. Для комплексного числа Z мы обозначаем комплексно сопряженное к нему через Z. Напомним, что К-линейное отображение и: V -» V' комплексных векторных пространств называется антилинейным, если u(\v) = Xuiv) для всех Л Є С, v Є V.
Определение 4.8.1. Пусть iH,p,r},A,e,S) — комплексная алгебра Хопфа. Будем говорить, что H является *-алгеброй Хопфа, если существует антилинейная инволюция *: х х* на H, удовлетворяющая следующим двум условиям:112