Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(б) Если /': L' —>• L" — еще один гомоморфизм алгебр Ли, то U(f'of) = U(f')oU(f).
Доказательство, (а) Применим теорему 2.1 к случаю алгебры А = U(V) и гомоморфизма алгебр Ли iy о /. (б) Мы имеем
UU') о UU) О iL = UU') OiblOf = iL„ of'of = и W О f) О iL.
Для завершения доказательства нужно воспользоваться единственностью отображения UU' ° /)> доказанной в части (а). Утверждение о единственности означает также, что [/(idx,) является тождественным отображением на U(L). ? 5.2. Обертывающие алгебры
123
Следствие 5.2.3. Пусть LuL' — алгебры Ли, L © L' — их прямая сумма. Тогда
U(L@ L') ? U(L) <8 U(L').
Доказательство. Сначала мы построим гомоморфизм <р из алгебры U(L ф L') в U(L) <8> U(L'). Для любых х є L и х' Є L' положим
f(x,x') = iL(x) <8 1 + 1 ®iL>(x').
Эта формула определяет линейное отображение / из L ф L' в U(L) <8 <8 U(L'). Покажем, что / является гомоморфизмом алгебр Ли. Для X, у Є L и х', у' Є L' мы имеем
[f(x, х'), f(y, у')} = (iL(x) ® 1 + 1 ®iy(x'))(iL(y) ® 1 + 1 ® Mj/)) -- (ib(y) ® 1 + 1 ®iv(y'))(iL(x) ® 1 + 1 ® iL>(x')) = = [ib(x),iL(y)} 0 1 + 10 [іь'(х'),ги(у')} = = h([x,y}) ® I + I ® iL' (W ,У'}) =
= f([x,y],[x',y'}) = f([(x,x'),(y,y')}).
Применяя теорему 2.1, получаем гомоморфизм ip из алгебры U(L@L') в U(L)QU(Lf).
Теперь мы используем свойство универсальности тензорного произведения двух алгебр, чтобы построить гомоморфизм алгебр ф : U(L) <8 <8 U(Lt) —> U(L ф L'). Композиции канонических включений L и L' в L ф L' и отображения іь®и являются гомоморфизмами алгебр Ли. По теореме 2.1 существуют гомоморфизмы алгебр ф\ : U(L) —>• U(L®L') и ф2 : U(L') t/(L ф L') такие, что для любых х Є L и х' Є L' мы имеем
Vn (я) = Ml/ 0е, 0) и Ф2 (х) = iL®v (0, х').
Согласно предложению 2.4.1 формула ф(а® а') = фі(а)ф2(а)' определяет гомоморфизм ф из алгебры C(L) <8 U(Lt) в {/(L ф L') при условии, что ф\(а)ф2(а') = ф2(а')фг(а) для всех а Є U(L) и а' Є U(L'). Мы докажем последнее, заметив, что это достаточно сделать в случае, когда a = X Є L и а' = х' Є L'. Далее, имеем
[^1(2:),^2(2:')] = [ML'(я, 0), ZLeL'(0, z')] = = Ml' ([(z, 0),(0, я')]) = = ml'(m],[0,x']) = = 0. 124
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
Мы утверждаем, что гомоморфизмы (риф взаимно обратны. Рассмотрим композицию фо(р. Она является гомоморфизмом алгебры U (LeL') в себя, ограничение которого на образ L ф L' тождественно. Действительно, для всех х Є L и х' Є L'
ф(ф,х')) = ф{х ® 1) + ф{ 1 ® х') = іШь'{{х, 0) + (0,х')) = iLeL'(^последовательно, ф о (р = id. Аналогичное рассуждение показывает, что (р о ф = id. ?
Следствия 2.2 и 2.3 позволяют задать структуру алгебры Хопфа на обертывающей алгебре U(L). Действительно, определим коумноже-ние Д на U(L) как Д = <р о U(6), где O — диагональное отображение X —у (х,х) из L в L © L, а (р — изоморфизм U(L ф L) U(L) ® U(L), который был построен в следствии 2.3. Коединица задается формулой є = U(O), где 0 есть нулевой гомоморфизм из L в нулевую алгебру Ли {0}. Наконец, антипод задается как S = U(op), где op — изоморфизм между L и Lop из примера 1.2.
Предложение 5.2.4. Обертывающая алгебра U(L) вместе с отображениями А, є и S, определенными выше, является кокоммутативной алгеброй Хопфа. Для Х\,... ,Xn Є L мы имеем
Tl-I
Д(хі . . . Xn) = 1 ® X1 . . . Xn + J] ха(1) . . . ха(р) ® Ха(р+1) • •. ха{п) +
P=1 а + X1 ... Xn ® 1,
где а пробегает все (р, q) -перетасовки из симметрической группы Sn и
S(XIX2 ... Xn) = (-1)ПХп . . . X2X1.
Доказательство. Аксиома коассоциативности (3.1.5) выполняется вследствие коммутативности квадрата
L
S
L®L
LeL jid©A
^ LeLeL, 5.2. Обертывающие алгебры
125
аксиома коединицы (3.1.6) — вследствие коммутативности диаграммы
OeL L®L -? Z©O
и аксиома кокоммутативности (3.1.7) — вследствие коммутативности треугольника
L
S^ \8
> L © L.
Формула для Д получается из теоремы 3.2.4. Определение S и лемма 3.3.6 означают, что S является антиподом в U(L). ?
Для полноты изложения мы приведем еще два важных свойства обертывающих алгебр.
Теорема 5.2.5. Пусть L — некоторая алгебра Ли.
(а) Алгебра U(L) имеет фильтрацию как фактор-алгебр а тензорной алгебры T(L) (градуированной, как в параграфе 2.5), и соответствующая градуированная алгебра изоморфна симметрической алгебре пространства L:
gr U(L)^S(L).
Таким образом, если {^г}гє/ — вполне упорядоченный базис в L, то iv4 ¦¦ - ViJii^...^іпЄі,пєх+ — базис U(L).
(б) Если характеристика поля к. равна нулю, то отображение симметризации rj: S(L) U(L), заданное для v\,... , vn Є L формулой
T)(vi . . . Vn) = Y vCT(I) ¦ ¦ • Vc7(U) (2.1)
li. _ <reSn
является изоморфизмом коалгебр.
Утверждение (а) теоремы известно как теорема Пуанкаре-Бирк-гофа-Витта. Доказательство теоремы 2.5 читатель может найти в [ВоибО], [Dix74], [Hum72], [Jac79]. 126
Глава 5. Алгебра JIu алгебры SL(2)
В заключение этого параграфа мы сделаем несколько замечаний о представлениях алгебр Ли. По определению, L-модуль — это U(L)-модуль в смысле определения из параграфа 1.1, то есть гомоморфизм алгебр р: U(L) —> End(F). Ввиду свойства универсальности U(L), сформулированного в теореме 2.1, это то же самое, что гомоморфизм (также обозначаемый через р) алгебр Ли р: L —> Ql(V). Для х Є L и v Є V положим ху = p(x)(v). Заметим, что формула (x,v) (->¦ xv определяет билинейное отображение из L х V в V такое, что
