Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
ba = qab, de = q cd, ad — da = q~l bc — q cb. (3.7)
Из равенств (3.6), (3.7) мы получаем (q~l -(- q) (bc — cb) = 0, что равносильно равенству be = cb, так кале q2 ф —1. Мы доказали, что из (і) следует (ii). Обратный переход получается аналогично непосредственным вычислением. ? 4.3. Алгебра Mq{2)
101
Определение 4.3.2. Алгебра Mq(2) есть фактор-алгебра свободной алгебры к{а, 6, с, d} по двустороннему идеалу Jq, порожденному шестью соотношениями (3.2)-(3.4) из теоремы 3.1.
В случае q = 1 алгебра Mq{2), очевидно, изоморфна алгебре М(2) из параграфа 1.4. Так как идеал Jq порожден квадратичными элементами, естественная градуировка свободной алгебры переносится на Mq (2), так что образующие а, Ь, с, d имеют степень 1.
Для данной алгебры Д определим R-точку алгебры Mq(2) как четверку (А, В, С, D), удовлетворяющую соотношениям
BA = q AB, DB = q BD, (3.8)
CA = q AC, DC = q CD, (3.9)
BC = CB, AD-DA = {q-1 - q) ВС. (3.10)
Непосредственно из определения Mq{2) следует, что Д-точки Mq(2) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества Нотд;г(М9(2), R) гомоморфизмов из алгебры Mq(2) в R. Иногда нам будет удобней записывать Д-точку (А, В, С, D) алгебры Mq(2) в виде матрицы
"сі)- <*»>
Теорема 3.1 может быть переформулирована на языке Д-точек следующим образом: четверка ( ^ ^ J элементов алгебры Д является
, С D .
Д-точкой алгебры Mq (2), тогда и только тогда, когда следующие пары (X', Y') и (X",Y") являются Д'-точками квантовой плоскости, где Xі, Y', X", Y" определяются матричными равенствами
( Г ) - ( С D ) ( У ) " ( Y' ) - ( В 0D ) ( Y )
и где R' — тензорное произведение алгебр
R' = R (8) kg[X, Y] = R{X, Y}/{YX - qXY).
Теперь мы определим квантовый детерминант detg как следующий элемент алгебры Mg (2). 102
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
Предложение 4.3.3. Элемент detg = ad — q 1 bc = da — qbc лежит в центре алгебры Mq(2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что detg коммутирует с образующими а, 6, с, d. Но действительно, из (3.2)-(3.4) мы имеем
(ad — q~l bc)a = a(da — qbc), (ad — q~l bc)b = b(ad — q~lbc), (ad — q~l bc)c = c(ad — q~l bc), (da — qbc)d = d(ad - q~l bc). ?
Для данной Л-точки m = ^ ^ ^D ajire^Pbl Mq(2) элемент
Det9 (m) = AD- q~l ВС = DA-qBC алгебры R называется квантовым детерминантом Д-точки т. Предложение 4.3.4. Пусть R — некоторая алгебра,
т
{ А В \ , ( At В' \
= U ? J и т = [с D')
— две R-точки алгебры Mq(2) такие, что элементы А, В, С, D коммутируют с элементами А', В', С', D'.
(а) Элемент т'т, определенный произведением матриц:
I А" В" mm = I с„ D„
(A' В' \( А В \ VC' D' J \ С DJ '
является R-точкой алгебры Mq(2).
(б) Мы имеем в R: Detq(m!m) = Detg(m') Detg(m).'
(в) Чете ерка
D -qB —q~lC А
есть R-точка алгебры Mq-\(2) и Rop-точка Mq(2).
Доказательство, (а) Мы используем переформулировку теоремы 3.1, приведенную несколькими строками выше предложения 3.3. Пусть R' — тензорное произведение алгебр
I? = R ® kg[X, Y] = R{X, Y}/(YX - q XY). 4.4. Теоретико-кольцевые свойства Mq(2)
103
Зададим X',Y', X", Y" формулами
X' \ ( А В \ ( X \ f X" \ ( А' С \ f X
Y' J \ С D J \ Y J И \Y"j \ В' D' J \ Y
По определению элементы X,Y Є R' коммутируют с остальными переменными А, А' и т.д. Из теоремы 3.1 следует, что пары (Xі, Y') и (X", Y") являются Д'-точками квантовой плоскости. Далее, по предположению элементы А', В', С", D' Є R' коммутируют с X' и Y', а элементы А, В, С, D — с X" и Y". Второй раз применяя теорему 3.1, получаем, что
А' В' \ ( X' \ _ ( А" В" \ ( X С' D' ) V Y' ) ~ V С" D" J \ Y
А С \ ( X" \ _ ( А" С" \( X В D ) \ Y" J ~ \ В" D" J \ Y
— Д'-точки квантовой плоскости. Отсюда т'т — Д-точка алгебры Мч{ 2).
(б) Это утверждение получается вычислением, которое мы оставляем читателю. Более содержательный подход предлагается в качестве упражнения в конце этой главы.
(в) Положим Al = D, В' = -qB, С' = -q~lC, и D1 = А. Тогда соотношения (3.8)-(3.10) влекут
A'B' = qB'A', B'D' = qD'B',
A1C' = q С'А', C'D' = qD'C',
C'B' = B'c, D'A! - A'D' = (q-1 - q) B'c,
что в точности означает, что {А', В', С', D') является Д-точкой алгебры Mq-1 (2) или Д°Р-точкой Mq (2). ?
4.4. Теоретико-кольцевые свойства Mq(2)
Цель настоящего параграфа — показать, что алгебра Mq(2), хотя и не является коммутативной, сохраняет некоторые свойства коммутативной алгебры М{2). Мы всюду используем обозначения и результаты из параграфов 1.7, 1.8. 104
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
Теорема 4.4.1. Алгебра Mq(2) нётерова и не имеет делителей нуля. Семейство мономов {a1b3ckdl}ij^,l^o образует аддитивный базис в алгебре Mq(2).
Мы докажем эту теорему, построив башню
A0 = k С Ai с A2 С A3 с A4 = Mg(2)
из алгебр такую, что каждая из Ai является расширением Ope алгебры Ai-1. Применяя следствие 1.7.4, мы получим, что для любой перестановки а множества {а, Ь, с, d} семейство {а(а)1 а(Ьуcr(c)kcr(d)l}ijtkj^o также является базисом в Mq( 2). Положим Ai = к [о], A2 = к{а,6}/ / (Ьа — qab) и
