Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
13. Пусть (С, Д, є) — некоторая коалгебра, а (С <8 V, A <8 idy) — свободный комо дуль (см. параграф 6, пример 6). Докажите, что для любого комодуля JV отображение / (є <8 idy) о / есть линейный изоморфизм пространства морфизмов из комодуля JV в С <8 V на пространство Hom(JV, F).
14. Пусть С — некоторая коалгебра, (JV5Ajv) — С-комодуль. Докажите, что Ддг является мономорфизмом из комодуля JV в свободный комодуль (С <8 JV, Д <8 idjv).
15. Пусть {хі}ієі — базис С-комодуля (JV, Ддг). Определим элементы сj коалгебры (С, Д, є) по формуле Ддг(аи) — Yjeitf ®xj Для всех і Є I.
(а) Докажите, что Д(с?) = Ykeif^ ® 4' и eW) = % Для всех
і J Є І.
(б) Покажите, что подпространство Cjv в С, линейно порождаемое элементами (c-)ijeli есть наименьшее подпространство С' в С такое, что Ajv(JV) с С' <8 JV. Проверьте, что Cjv является коалгеброй.
(в) Предположим, что комодуль JV конечномерен. Докажите, что элемент іJV = YieicI ^ C1Jv не зависит от выбора базиса
16. Докажите структурную теорему о бимодулях над алгеброй Хопфа, сформулированную в следующем параграфе. 2.7. Замечанья
91
3.9. Замечания
Понятие алгебры Хопфа было введено и изучалось алгебраическими топологами как обобщение структуры из работы Хопфа [Нор41] о многообразиях, допускающих операцию умножения (таких, как группы Ли). Этот этап отражен в известной работе Милнора и Мура [ММ65]. Алгебры Хопфа возникали также в теории представлений групп Ли и алгебраических групп (см. [Abe80], [DG70], [Нос81], [Ser93])6. По абстрактной теории алгебр Хопфа мы рекомендуем монографии Абе [АЬе80] и Свидлера [Swe69].
Во всех примерах, обсуждавшихся в предшествующих главах, биалгебры были либо коммутативными, либо кокоммутативными, за исключением алгебры Хопфа, приведенной в упражнении 7, которая придумана Свидлером. До эры «квантовых групп» было известно немного примеров некоммутативных и некокоммутативных биалгебр (тем не менее см. [Par81], [Rad76], [Swe69, с. 89-90], [Taf71], [TW80]). С появлением квантовых групп в 1980-х годах эта ситуация коренным образом изменилась. Подробности, связанные с порядком квадрата антипода, см. в [Rad76], [Taf71], [TW80].
(Ограниченно-двойственная коалгебра.) Мы видели в параграфе 1, а также в упражнении 5, как задать структуру коалгебры на пространстве, двойственном к алгебре А = (А, /л, rj) в случае, когда последняя либо конечномерна, либо градуирована. В общем случае можно поступить следующим образом. Мы знаем, что отображение Л: А*® А* (.A<g>.A)* из следствия 2.2.2 позволяет отождествить А* <8> А* с подпространством в (.А® .А)*. Определим
A0 = {а Є А* \ц*{а) Є А*® А*}.
Если алгебра А конечномерна, то Л — изоморфизм, и A0 = А*. Можно показать, что A0 есть подпространство, состоящее из линейных функций, ядро которых содержит идеал конечной коразмерности в А. Пространство A0 обладает следующим свойством: вложение Л индуцирует изоморфизм
A0 ® A0 S (А ® A)0.
6 Важное место занимают алгебры Хопфа и в комбинаторике (см. [27], [29], [30], [32]). — Прим. ред. 92
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Следовательно, fi*(a) принадлежит A0 <g> A0 для всех а из A0. Таким образом, мы получаем, что (А°,р,*Ао, г}*) задает структуру коалгебры на пространстве A0. Если, кроме того, А является биалгеброй (соответственно алгеброй Хопфа), то таковой будет и A0. Дальнейшие подробности см. в [Abe80], [Swe69], [Так85].
(Ограниченно-двойственная алгебра Хопфа и конечномерные представления.) Пусть Я — алгебра Хопфа. Ограниченно-двойственная коалгебра H0 также имеет структуру алгебры Хопфа. В терминах теории представлений можно дать другое ее определение следующим образом. Пусть р: H —»¦ End(F) — некоторое представление Я в конечномерном векторном пространстве V. Рассмотрим транспонированное отображение р*: End(F)* —>¦ Н*. Его образ Im(p*), называемый пространством коэффициентов представления р, содержится в ограниченно-двойственной алгебре Хопфа H0. Поэтому ограниченно-двойственную алгебру Хопфа можно определить также как сумму пространств коэффициентов всех конечномерных представлений. В случае, когда все конечномерные H-модули полупросты, H0 является прямой суммой коалгебр вида 1т(уэ), где р пробегает все неизоморфные конечномерные простые Я-модули. (см. [Abe80], [Ser93], [Swe69]).
(Вимодули.) Пусть Я — некоторая биалгебра, M — векторное пространство со структурами Я-модуля и H-комодуля, задаваемыми отображениями
p-m : H <8 M M и Am : M H <8 М.
Рассмотрим индуцированные структуры модуля и комодуля на Я <8 М. Тогда рм является морфизмом комодулей, если и только если Am есть морфизм модулей. Когда эти равносильные условия выполняются, мы говорим, что M есть Я-бимодуль.
Для данного бимодуля M определим подпространство
N = {т Є M I Ам{т) = 1 <8 т}.
Оказывается, что N является подкомодулем, но не подмодулем в М. Снабдим свободный Я-модуль Я (8 N индуцированной структурой комодуля. Тогда Я <8 N становится бимодулем. Структурная теорема о бимодулях может быть сформулирована следующим образом: если Я — алгебра Хопфа, то отображение хт из Я (8 N в M есть
