Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 4.2.2. Пусть х и у — переменные, подчиненные соотношению квантовой плоскости ух = qxy. Тогда для всех п > 0 мы имеем
П / \
п \ „k..n-k
(* + *)" = ?( J ) *V
ь—n V 'О
fc=0
Доказательство. Вследствие свойства универсальности квантовой плоскости достаточно доказать это утверждение в kjx, у]. Раскрывая скобки в (х+у)п и используя (1.2), мы получаем сумму членов, имеющих вид мономов xkyn~k со скалярными коэффициентами. Следовательно, мы имеем
{х + у)п = ^(П) хкуп~\ ifc=o ^ '
где ^ ^ ) — некоторый многочлен от q с целыми коэффициентами. Докажем по индукции, что 4.2. Многочлены Гаусса и q-биномиалъная формула
97
Равенство (2.6), очевидно, верно для п = 1. Остается проверить, что коэффициенты ^ ™ ^ удовлетворяют (2.5). Используя (1.2), имеем
E (? V * = +у) f E (п;1У "V-1-*) =
fc=0 4 ' vfc=o 4 ' /
»ef^m'^v-1-* + fc=0 4 7
+xy(v)a"-* =
Ввиду линейной независимости мономов {xkyn~k}k мы получаем равенство (2.5) для ^ ^ ^ • '-3
Мы выведем несколько ^-соотношений из ^-биномиальной формулы. Эти соотношения не будут использоваться в дальнейшем. Первое из них — это ^-аналог формулы Чу-Вандермонда.
Предложение 4.2.3. Для р ^ т,п мы имеем
4 У /Я к=0 4 fq\r /д
Доказательство. Раскроем скобки в обеих частях равенства (х + у)т+п = (х + у)т{х + у)п, используя предложение 2.2, и приравняем коэффициенты цри хрут+п~р. ?
Введем ^-аналог экспоненты. Пусть z — переменная, коммутирующая с q. Определим q-экспоненту как формальный ряд
-м-<")
п>0 98
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
Заметим, что этот ряд корректно определен при условии, что q не является корнем из единицы, что будет предполагаться до конца этого параграфа.
Предложение 4.2.4. Пусть х и у — переменные, удовлетворяющие соотношению ух = qxy. Тогда
eq(x+y) = eq(x)eq(y).
Доказательство. Применяя предложение 2.2, мы имеем
= E
•kiо о vjlIy nzо v'>-<i 4+i=n ^W?
(х + у)п
) =
п> О
(п)!, " ?
^-Экспонента есть обратимый формальный ряд, но, в отличие от случая q = 1, мы имеем eq(z)~l Ф eq(—z). Чтобы вычислить ряд, обратный к eq(z), мы рассмотрим алгебру формальных рядов k[[zj] и алгебру End(k[[z]]) линейных операторов на k[[z]]. Определим два элемента Z итдв End(k[[z]]) формулами (Zf)(z) = zf{z) и (r9/)(z) = f{qz). Простая выкладка показывает, что (Z,rq) есть End(k[[z]])-T04Ka квантовой плоскости, то есть верно следующее утверждение.
Лемма 4.2.5. В End(k[[z]]) имеет место равенство tqZ = qZTq.
Если для произвольного скаляра а из поля к применить оператор ((а — Z)tq)n к единичному формальному ряду, то получим
((а - Z)tq)n{ 1) = (а - z){a - qz)... (а - qn~lz). (2.8)
В частности, для а = О мы имеем
(~ZTq)n( 1) = (-l)V{n_1)/2*n. (2.9)
Предложение 4.2.6. Ряд, обратный к eq(z), задается формулой:
п>0 \П)-° 4.2. Многочлены Гаусса и q-биномиалъная формула
99
Доказательство. Из леммы 2.5 вытекает, что (—Zrq)Z = qZ(—ZTq). Из предложения 2.4 мы получаем следующее равенство в End(k[[z]]):
eq(Z( 1 - r9)) = eq{Z) о eq(—ZTq). (2.10)
Применим обе части (2.10) к единичному формальному ряду 1. С одной стороны, мы имеем eq(Z(l—Тд))(1) = 1, так как (I-Tg)(I) = 0. С другой стороны, из формулы (2.9) мы получаем
eq(Z)(eq(-Zrq)(l)) ^(-1) V(n-1)/2 T^r). ?
\„>n \п)-я/
Имеют место два более общих ^-тождества.
Предложение 4.2.7. Для любого скаляра а мы имеем
{a -z)(a-qz)...(a- q^z) = ?(-1)* ( ? ) ^-U/^-*,*
k=0 ^ 'ч
U
eq(a) = eq{z) ^ E ^yr (а - z)(a -qz)...(a- q^z^j.
Доказательство. Мы проделаем то же, что и в доказательстве предложения 2.6, но с операторным равенством (атд)(—Zrq) = q (—Zrq)(aTq). Согласно предложениям 2.2 и 2.4 мы получаем в End(k[[z]])
((о - Z)rq)n = Yi-If Г п ) (Zrq)k о (атдГЛ fc=o ^ 'ч
и
eqi(a - Z)rq) - eq{-Zrq) о eqia).
Снова применяя эти равенства к единичному формальному ряду, получаем требуемое соотношение ввиду eqi — ZTq)i 1) = eq(z)~l, что было доказано выше. ? 100
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии
4.3. Алгебра М„(2)
Здесь и всюду далее мы предполагаем, что q2 ф —1. Определим q-аналог алгебры M(2) из параграфа 1.4. Кроме переменных х и у, подчиненных соотношению квантовой плоскости ух = qxy, рассмотрим четыре переменных a,b,c,d коммутирующих с х и у. Определим х',у',х",у" следующими матричными соотношениями:
(?)-(::)(;) - (?)-(:;)(;)¦ ™
Теорема 4.3.1. В предположениях, сделанных выше, имеет место эквивалентность между
(і) двумя соотношениями у'х' = qx'y', у"х" = qx"y" и (и) шестью соотношениями
ba = qab, db = qbd, (3.2)
ca = qac, dc = qcd, (3.3)
bc = cb, ad — da = (?-1 — q) bc. (3.4)
доказательство. Проверим, что (і) влечет (ii). Используя формулы (3.1), запишем соотношение (і) для х' и у' в виде
(сх + dy)(ax + by) = q (ах + by)(cx + dy).
Приразнивая коэффициенты при х2, у2, ху, мы получаем
са = q ас, db = qbd, cb + qda = qad + q2 bc. (3.5)
Деление последнего равенства на q дает
ad — da = q~l cb — q bc. (3.6)
Соотношение (і) для х" и у" аналогичным образом дает еще три соотношения, получаемые из (3.5), (3.6) перестановкой бис, а именно
