Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 2.2.2. Отображение A: U* ® F* -» (F ® 17)* является изоморфизмом, если хотя бы одно из пространств U или V конечномерно.
Второе следствие мы получим, положив в теореме 2.1 U = V' = к.
Следствие 2.2.3. Отображение Xuy : F ® U* —> Hom({7, V), определенное для uGU,v€V,a€U* формулой
Xuy(v ® а)(и) = a(u)v, (2.5)
является изоморфизмом, если U или V конечномерно. В частности, если V — конечномерное пространство, отображение Xyy представляет собой изоморфизм
F ® F* = End(F).
Теперь мы хотим выразить общее отображение А из (2.2) через специальные А, определенные в следствиях 2.2, 2.3, и переставляющее отображение. Это сделано в следующей лемме, которую мы используем в дальнейшем. Заметим, что если одно из пространств U или U', а также одно из F, F' конечномерны, то отображение XulU' ® ^vy обратимо. зо
63 Глава 2. Тензорные произведения
Лемма 2.2.4. Следующая диаграмма коммутативна-.
U' ® U* ® V ® F* -U'®V'®U*® V*
id<g)icl<g>A
и' ®v ®{v ®иу -
4 Hom({7, U') ® Hom(F, V')
¦> Hom(F® U,U'®V').
Доказательство очевидно.
?
На линейных отображениях есть другая важная операция, которую мы еще не обсуждали, а именно взятие композиции (g,f) —> g о / двух линейных отображений. Эта операция билинейна и для любой тройки (U, V, W) векторных пространств приводит к отображению
Hom(F, W) ® Нот (С/, V) —Hom(EZ1W).
При некоторых условиях конечномерности мы снова можем выразить операцию композиции в терминах более простых отображений, через специальные А из следствия 2.3, а также отображение вычисления
evv : V* ® V к,
которое определяется обычным образом, а именно
evy(a ® v) = (a, v) = a(v) (2.6)
для любой линейной функции а и любого вектора v из V.
Лемма 2.2.5. Диаграмма
id®evv®id
W ®V* ® V ® U*
A v,w®^u,v
Hom(F, W) ® Нот (С/, V) коммутативна. Доказательство очевидно.
» W ® С/*
ac/, w
+ Нот (U,V)
? 2.3. Двойственность и следы
37
2.3. Двойственность и следы
Все линейные пространства, рассматриваемые в этом параграфе, предполагаются конечномерными. Если V — такое пространство, мы обозначаем некоторый его базис через используя соответствующие строчные буквы для векторов базиса. Дуальный базис в двойственном пространстве V* обозначаем через {V}j. Используя эти базисы, мы можем переопределить отображение вычисления по формуле
evv(vl ® Vj) = (v\vj) = Sij. (3.1)
Выразим изоморфизм \u,v- V ®U* = Hom([7, V) из следствия 2.3 в терминах базисов. Пусть f : U -» V — линейное отображение. Для базисов пространств UviV, мы имеем
/ы = Ylfh (3-2)
і
для некоторого семейства (fj)ij скаляров. Легко проверить, что
f = *u,v (Y^f1jVi ® Uj)- (3.3)
В частности, взяв в качестве / тождественный оператор на V, мы получим
idy = ® и-7). (3.4)
і
Это позволяет для любого конечномерного пространства V определить отображение ковычисления как линейное отображение Sy, заданное формулой
Ml) = Ky№v) = ® (3.5)
і
Непосредственно из определения следует, что отображение Sy не зависит от выбора базиса. Мы напишем некоторые соотношения между отображениями вычисления и ковычисления. Эти соотношения сыграют фундаментальную роль, когда мы в главе 14 введем понятие двойственности в категориях. 38
Глава 2. Тензорные произведения
Предложение 2.3.1. Композиция отображений
V *уШу ) idv^evv > V
равна тождественному отображению пространства V. Аналогично, композиция
V* idv^5v > evv^idv' ) V*
есть тождественный оператор на V*.
Доказательство очевидно. ?
Напомним понятие транспонирования *. Для произвольного линейного отображения / : U —»• V определим отображение /*: V* U*, транспонированное (двойственное) к /, по формуле
(Г(а),«) = <«,/(«)) (3.6)
для всех a Є V*, и Є U. Другими словами, /* — это единственное линейное отображение такое, что квадрат
V*®U ГШи ) и*® и
id v»(g>/
evu
(3.7)
коммутативен. Как видно из следующего утверждения, транспонирование можно выразить через отображения вычисления и ковычисления. Доказательство оставляется читателю.
Предложение 2.3.2. Пусть /: U —> V — линейное отображение. Тогда транспонированное к нему отображение /* совпадает с композицией
V* ^? V*®U®U* idVbWdVi v*®v®u* evv^icS и*.
Заметим, что если выполняется равенство (3.2), то 2.3. Двойственность и следы
39
Мы, таким образом, видим, что транспонирование приводит к смене ролей верхних и нижних индексов. Мы обобщим его следующим образом. Пусть / — линейное отображение из F S W в X S Y. Используя базисы этих пространств, определим частично транспонированные отображения
f+:X*S WV*SY и fx :V ®Y* X ®W*
формулами
f+(X1Swj) = YlfkJvk ® Vi (3-9)
к,I
И
fx(vi®yJ) = Y,fujxk®wl, (3.10)
к,l
ГДЄ
I(ViSwj) = YflkIxkSyl. (3.11)
к,I
Лемма 2.3.3. Определение отображений f+ и /х we зависит от выбора базисов. Мы также имеем2
(/+)х = (Zx)+ = /* ¦
Доказательство оставляется читателю. ?
Изоморфизм \v,v из следствия 2.3 позволяет определить след оператора в конечномерном пространстве V. След tr : End(F) к задается как композиция отображений
