Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
?(ху)' ® Ory)" = E х'у' ® arV'- (2-1)
(®з/) (Х)Ы
Мы также имеем
A(I) = 1 ® 1, є(ху) = є(х)є(у), ?(1) = 1. (2.2)
Легко проверяется следующее утверждение.
Предложение 3.2.3. Пусть H — (Я, /і, rj, Д, є) — некоторая биалгеб-ра. Тогда
H0 P = (Я, Aiop, г,, Д,е), Ясор = (Я,/х,77, Дор,є) u Hopcop = (Я, /іор, rj, Дор, є) также являются биалгебрами.
Пример 1. Из предложений 1.2, 1.3 следует, что двойственное векторное пространство Я* конечномерной биалгебры Я имеет естественную структуру биалгебры.
Пример 2. В примере 3 параграфа 1 мы поставили в соответствие произвольному множеству X коалгебру к[Х]. Предположим теперь, что X имеет структуру моноида, то есть задано ассоциативное умножение fJ> • X X X —^ Xi имеющее левую и правую единицу е. Отображение ц порождает на к[Х] структуру алгебры с единицей е. Мы имеем
Д(жу) = ху®ху = (х® х)(у ® у) = Д(ж)Д(у)
и е(ху) = 1 = є(х)є(у), что означает, что отображения Д и є являются гомоморфизмами алгебр. Таким образом, к[Х] становится биалгеброй.
Если вдобавок множество X конечно, то пространство, двойственное к к[Х], также является биалгеброй. Мы уже видели, что структура 60
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
алгебры на двойственном пространстве есть обычная алгебра функций со значениями в к на множестве X. Простое вычисление показывает, что коумножение и коединица на алгебре функций задаются формулами
A(f)(x®y) = f(xy) и e(f) = f(e). (2.3)
Пример 3. (Биалгебра М(п).) Пусть М(п) = к[хц,... , хпп] — алгебра многочленов от п2 переменных Для всех i,j положим
п
A{xij) = YlxXk ® Xkj и e{xij) = 5ij. (2.4)
ifc=i
Эти формулы определяют гомоморфизмы алгебр Д: М(п) —> М(п) <g> ®М(п) и є : М(п) —> к, снабжающих М(п) структурой биалгебры. Если п = 2, получается биалгебра М(2), определенная в параграфе 1.4.
Мы зададим сейчас структуру биалгебры на тензорной алгебре.
Теорема 3.2.4. Для данного векторного пространства V на тензорной алгебре T(V) существует, и притом единственная, структура биалгебры такая, что Д(и) = 1®г>+и®1 и e(v) = 0 для любого элемента v Є V. Эта биалгебра кокоммутативна, и для всех Vi,... ,vn є V мы имеем
e(vi...vn) = Q (2.5)
и
A(vi ...vn) = 1 ® v\... vn +
TL— 1
Va(I) • ¦ • va(jp) ® wcr(p+l) • • ¦ Va(Jl) + Ui.. .Un ® 1, (2.6)
p=l er
где о пробегает все перестановки из симметрической группы Sn такие, что
а(1) < а(2) < ... < а(р) и а(р + 1) < а(р + 2) < ... < а(п). Такая перестановка а называется (р, п — р)-перетасовкой. 3.2. Биалгебры
61
Доказательство. Из свойства универсальности тензорной алгебры следует, что существуют, и притом единственные, гомоморфизмы алгебр Д : T(V) -»• T(V) ®T(V) и є: T(V) -»• к такие, что их ограничения на V задаются формулами из условия теоремы. Рассмотрим теперь несколько элементов v\,... , vn из V. Равенство (2.5) является прямым следствием мультипликативности є.
Теперь вычислим Д(г*і... ип). Мы будем делать это индукцией по п. Соотношение (2.6) выполняется для п = 1 по определению. Предположим, оно верно вплоть до п — 1 ^ 1. Тогда имеет место цепочка равенств
Д(иі ...vn) =
= A(vi. ..vn-i)A(vn) = = A(vi... vn_x)(l ®u„ + vn ® 1) =
n-2
= (l ® vi... un_i + Y Y Mi) • ¦ ¦ Mp) ® Mp+i) ¦' ' M«-i) +
p=l a
+ Vi . . . Vn-i ® 1) (1 ® Vn + Vn ® 1) = n-2
= 1 ® Vi . . . Vn + Y Ml) • ' • Mp) ® Mp+1) ' ' * V<r(n-l)vn + p=l <x
+ Vi . . . Vn-I ®Vn+Vn®Vi... Vn-I + n-2
+ Y Y Ml) • ¦ ' Vc(p)Vn ® V<r(p+1) • • • U«r(n-1) + Ul • ¦ . U„ ® 1,
p=l CT
где Ct пробегает все (p, n — 1 — р)-перетасовки из Sn-1. Перепишем последнюю сумму в виде
п—2
1 ® Ui . . . Vn + Y Y uP(I) ¦ ¦ • vP(P) ® иР(Р+1) ¦ ¦ • vp(n-l)vn +
P=I P
+ ul . . . un-i ® Vn + Vn ® ul . . . un-i +
Tl—1
+ YY
ut(i) . . . ut(p—i)un ® ит(р+1) . . . ut(„) + ul ... Vn ® 1,
P=2 г
где р пробегает все (р,п — 1 - р)-перетасовки из 5п_і, а т пробегает (р — 1,п — р) - пер ет асовки, отображающие множество {1,... , п}\{р}, 62
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
в множество {1,... ,п — 1}. Теперь заметим, что если ст Є Sn (р, п — р)-перетасовка, то или ст(п) = п, и тогда ограничение перестановки ст в Sn-1 есть (р, п — 1 —р)-перетасовка р, или а(р) = п, и тогда перестановка т = ст, действующая на {1,... , п}\{р}, есть (р — 1, п — ^-перетасовка. Это завершает доказательство формулы (2.6).
Остается доказать коассоциативность, наличие коединицы и коком-мутативность отображения А. Существование коединицы доказывается простым вычислением с использованием (2.5) и (2.6). Кокоммутатив-ность есть следствие того факта, что перестановка
меняет местами (р, п — р)-перетасовки и (п — р,р)-перетасовки. Что касается коассоциативности, то ее можно напрямую проверить, используя (2.6). Мы вместо этого заметим, что отображение A: T(V) —> —T(V)®Т(V) индуцировано диагональным отображением 6(v) = (v, v) из V в V ® V. Коассоциативность Д следует тогда из очевидного соотношения (8 <8 id) о 5 = (id <8 <5) о 5. ?
Теперь мы введем понятие примитивного элемента.
Определение 3.2.5. Пусть (С,ц,г),А,є) —некоторая биалгебра. Элемент X из С называется примитивным, если
