Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
11. (Алгебра псевдодифференциалъных операторов.) В обозначениях и предположениях предыдущего упражнения покажите, что формула
г г г
где
V- р(Р - 1) . • • (р — fc + 1) к
ci= 2^ --apd \ьг-р+ь)>
определяет структуру алгебры на пространстве R[t, <Щі-1]] формальных степенных рядов вида Ya=-oo a^1- Проверьте, что в этой алгебре R[t, является подалгеброй. Определим некоммутативный вычет как линейное отображение из R[t, в фактор-пространство R/([R, Л] + 6(R)), отправляющее формальный ряд Ya=-oo a^1 в класс эквивалентности коэффициента а_Докажите, что некоммутативный вычет является отображением следа на алгебре R[t, <S][[i-1]] псевдодифференциальных операторов.
1.10. Замечания
Расширения Ope были введены Ope в [ОгеЗЗ]. Они также называются «некоммутативными кольцами многочленов» в [Coh71], [MR87] 28
Глава 1. Предварительные сведения
(см. также [Cur52]). Одной из мотивировок Ope было нахождение широкого класса некоммутативных алгебр, которые вкладываются в тело. Как известно, это возможно для любой коммутативной области целостности, но не для произвольной некоммутативной алгебры. Ope доказал, что любая алгебра, полученная из тела последовательными расширениями Оре, сама может быть вложена в тело (см. предложение 0.8.4 в [Coh71]). За дальнейшими деталями, касающимися нётеровых колец мы отсылаем читателя к [Lan65] и [MR87]. Примеры, данные в [MR87, 1.2.11], показывают, что некоммутативная версия теоремы Гильберта о базисе перестает быть верной без предположения, что гомоморфизм а является биекцией. Глава 2
Тензорные произведения
Эта глава посвящена некоторым фактам из теории тензорных произведений векторных пространств, используемым в дальнейшем. Как и выше, мы фиксируем в качестве основного некоторое поле к.
2.1. Тензорные произведения векторных пространств
Для векторных пространств U и V мы обозначаем через Нот(С/, V) пространство линейных отображений из U в V. В частности, определим End(V) = Hom(V, V) — пространство линейных операторов на V. Если W — некоторое третье векторное пространство, мы обозначаем через Нот W(U,V\W) пространство билинейных отображений из UxV в W.
Тензорное произведение U <8> V двух линейных пространств может быть охарактеризовано следующим образом.
Теорема 2.1.1. Для данных векторных пространств UuV существует линейное пространство U ®V и билинейное отображение <Ро : U x V -» U <8>V такие, что для любого векторного пространства W линейное отображение
Hom({7 ® V, W) ->¦ Hon/2) (U, V; W),
заданное как f /ощ, является изоморфизмом. Пространство U®V называется тензорным произведением пространств UuV. Оно единственно с точностью до изоморфизма. зо
Глава 2. Тензорные произведения
Для любых и € U и V € V положим u®v = <po(u,v). Так как отображение ipQ билинейно, в U <8> V выполняются следующие соотношения:
(и + и') <g> v = и ® v + и' ® v, (1.1)
и ® (v + Vі) = и ® V + и ® Vі, (1.2)
\{u®v) = (Ли) ®v = и® (Ли), (1.3)
где и, и' Є U, и, V1 Є V и Л Є к. Более того, как мы увидим в последующем доказательстве, любой элемент пространства U <S>V представляется конечной суммой вида
р
j^ui ® vi, (1.4)
1=1
где и і,... ,Up принадлежат U, a v\,... ,Vp принадлежат V.
Доказательство. Мы дадим набросок доказательства. Рассмотрим векторное пространство k[U х V], базисом которого является множество U X V. Мы определим U ® V как фактор-пространство к [С/ х V] по подпространству, порожденному всеми элементами вида
(и + Ii', и) - (и, и) - [u',v), {и, v + vі) - (и, v) - (и, vі), (Ли, v) — \(и, v), (и, Xv) — Х(и, v),
где и, и' б U, V, v' Є V и Л Є к. Класс эквивалентности пары (u,v) в U ® V обозначим через <po(u,v) = и® v. По построению, каноническое отображение (/?о из UxV в U®V билинейно. Окончание доказательства не вызывает затруднений (детали см. в [Вои70, гл. 2] и [Lan65]). ?
Следствие 2.1.2. Для любой тройки (U, V, W) линейных пространств существует естественный изоморфизм
Нот (U ® V, W) = Нот (С/, Hom(V, W)).
Доказательство. Если ср — билинейное отображение из U х V в W, и — произвольный вектор из U, то (р(и, •) есть линейное отображение из V в W. Это дает искомый изоморфизм. ? 2.1. Тензорные произведения векторных пространств
31
Доказательство следующего утверждения оставляется читателю.
Предложение 2.1.3. Пусть U, V, W — линейные пространства. Имеют место: изоморфизм
(U ®V)®W ^U ®{V ®W),
заданный формулой (и ® v) ® w ^ и ® (v ® w), изоморфизмы
k®V ^V ^V ®к,
заданные формулами X ® v Xv, v v <g> 1, а также изоморфизм
V ® W ^W ®V,
определенный переставляющим отображением Tytw, заданным формулой Ту,W (и ®w) = W ®v.
Тензорное умножение коммутирует также со взятием прямой суммы пространств. Пусть (Ui)^i — семейство линейных пространств, пронумерованных некоторым множеством I. Напомним, что имеется векторное пространство фгЄ/ Ui, называемое прямой суммой семейства (Ui)iel, вместе с линейными отображениями qy. Uj -> фіе/ Ui такое, что для любого векторного пространства V линейное отображение
