Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(г) Если V' — другое векторное пространство, то имеет место изоморфизм алгебр
S(VQ)V') S(V) ® S(V). (5.5)
Часть (б) означает, что в случае коммутативной алгебры А отображение / / о і у является биекцией
HomAig(S(F),A) ^Hom(Vr1A). (5.6)
Доказательство. Мы оставляем (а)-(в) как упражнение. Дадим краткое доказательство утверждения (г). Используя (1.5), (4.3) и (5.6), мы имеем следующую цепочку естественных биекций:
HomAJg(S(V Є Vі), A) S Hom(F Є F', A) S
S Hom(F1A) X Hom(F', A) 9* = HomAjg(S1(F), А) X HomA;g(S'(F'), A) = HomA;g(S'(F) ® S(V'),A).
Взяв в качестве А последовательно S(V ф F') и S(V) (g> S(V'), получаем изоморфизм между этими алгебрами так же, как во втором доказательстве части (в) предложения 5.1. ? 2.6. Упражнения
47
2.6. Упражнения
1. Покажите, что если / и /' (соответственно д и д') — линейные отображения, для которых определена композиция, то
2. Докажите, что если / — линейный эпиморфизм, то таковым является и /<g)idy для любого векторного пространства V. Что можно сказать про ядро отображения / ® idy?
3. Докажите, что отображение Л из формулы (2.2) инъективно.
4. Пусть U, V — конечномерные векторные пространства, / (соответственно д) — линейный оператор на U (соответственно на V). Покажите, что tr(/ ® д) = tr(/) tr(g).
5. Пусть А = фі>0 Ai и А' = фі>0 A1i — градуированные алгебры. Покажите, что их тензорное произведение А ® А' градуировано как алгебра следующим образом:
(.А®А')п = 0 AiIgiAj.
6. (Внешняя алгебра.) Для произвольного векторного пространства V определим внешнюю (или грассманову) алгебру A(V) как фактор-алгебру A(F) = T(V)/I1(V) алгебры T(V) по двустороннему идеалу I1(V), порожденному элементами где х пробегает V. Если Xi,... ,хп — элементы из V, обозначим через х\ Л ... Л хп класс эквивалентности элемента xi<8>.. .®хп в A(F). Подпространство в A(F), порожденное всеми элементами вида xiA.. .Axn, обозначается через An(F). Пусть іу — каноническое отображение из F = T1(F) в A(F). Докажите следующие утверждения.
(а) Алгебра A(F) градуирована, так что An(F) — подпространство однородных элементов степени п.
(б) Для любой алгебры А и любого линейного отображения f : V А, удовлетворяющего условию /(х)2 = 0 для всех X € V, существует, и притом единственный, гомоморфизм / : A(F) —> А такой, что / о iv = /. 48
Глава 2. Тензорные произведения
(в) Пусть I — упорядоченное множество индексов, нумерующее базис {єі}ієі в V. Тогда множество Ieil Л ... Л є*п}іі<-<іпЄ/ является базисом в An(V).
(г) Предположим, пространство V имеет конечную размерность d. Докажите, что
^dim(An(V))*n = (l + *)d.
n^O
7. (Симметрические и кососимметрические тензоры.) Симметрическая группа Sn действует слева на Tn(V) по формуле
сг(хі <8 ... <8 х„) = Xff-I(X) (8 ... <8 xff-i(n),
где а Є S1n, хх,... ,хп Є V. Определим два оператора S (оператор симметризации) и А (оператор антисимметризации) на Tn(V) формулами
Е(а) = а(а) и А(а) = ? е(а)а(а),
CGS71 сгб5„
где є (а) — знак перестановки а. Тензор а Є Tn(V) называется симметрическим (соответственно кососимметрическим), если ст(а) = а (соответственно а (а) = є(сг)а) для любой перестановки а. Подпространство симметрических (соответственно косо-симметрических) тензоров из Tn(V) обозначается через S1n(V) (соответственно A1n(V)). Докажите, что
(а) S(TnCV)) С S1n(V) и A(Tn(V)) С K(V)1
(б) если п! — обратимый элемент в поле к, то предыдущие включения являются равенствами, и композиция включения S1n(V) Tn(V) (соответственно включения A1n(V) Tn(V)) и канонической проекции Tn(V) —> Sn(V) (соответственно проекции Tn(V) —»• An(V)) является изоморфизмом.
8. Пусть A®V — свободный А-модуль. Докажите, что пространство А-линейных отображений из А (8 V в любой другой А-модуль W изоморфно Hom(V, W). 2.7. Замечанья
49
2.7. Замечания
Дальнейшие подробности, касающиеся тензорных произведений, симметрических и внешних алгебр, а также подпространств S1n(V) и A^1(F) из упражнения 7, см. в [Вои70, гл. 3]. Глава З
Язык алгебр Хопфа
В этой главе мы вводим фундаментальные понятия: коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули, которые мы будем широко использовать в дальнейшем. Мы также докажем, что алгебры GL(2) и SL(2), введенные в главе 1, являются алгебрами Хопфа.
ЗЛ. Коалгебры
Понятие коалгебры двойственно понятию алгебры в следующем смысле. Перефразируя определение алгебры, данное в параграфе 1.1, скажем, что алгебра задается тройкой (А,ц,г)), где А — векторное пространство, ц: А® А A vi rj: к —>¦ А — линейные отображения, удовлетворяющие следующим аксиомам (Ass) и (Un). (Ass): Квадрат
А® А® А
/igiid
А ® А
(1.1)
А® А
А
коммутативен.
(Un): Диаграмма
к® А
77<g>id
¦» А®А <г
id®77
А® к
(1.2)
А
коммутативна. 3.1. Коалгебры
51
Аксиома (Ass) выражает требование ассоцйативности умножения /л, в то время как аксиома (Un) означает, что элемент rj( 1) алгебры А является левой и правой единицей для /і. Алгебра А коммутативна, если она, кроме того, удовлетворяет аксиоме (Comm): Треугольник
