Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Мы извлекаем из предыдущего утверждения, что можно переходить от алгебры Л®2 к A <g> А, заменяя копию х' элемента х на х <g> 1, копию х" — на 1 ® X, и обратно. Применим это правило к конструкциям из параграфов 1.4, 1.5. Обозначая одну из алгебр М(2), GL(2), SL(2) через G, мы видим, что во всех трех случаях алгебра G®2, определенная в 1.4, 1.5, изоморфна тензорному произведению алгебр G <8> G. Таким образом, мы можем переписать отображение Д из предложения 1.4.1 как гомоморфизм из алгебры G в G <8> G, заданный формулами
Д(а) = a<g>a + b<gic, A(b) = a <g> b + b ® d,
Д(с) = с <g> а + d <8> с, A(d) = с ® b + d ® d.
Перепишем эти соотношения в компактной матричной форме
^C :)-(?? ^)-(: :)•(::)¦ <«>
Из леммы 1.5.2 следует, что
Д{ad-be) = (ad-be) ® (ad-be). (4.5)
2.5. Тензорные и симметрические алгебры
Пусть V — векторное пространство. Положим T0(V) = k, T1(V) = V и Tn(V) = V®n (тензорное произведение п копий пространства V) для п > 1. Канонические изоморфизмы
Tn(V) ® Tm(V) Tn+m(V)44
Глава 2. Тензорные произведения
определяют ассоциативную операцию умножения на линейном пространстве T(F) = ®n>0Tn(V). Будучи снабженным структурой алгебры, T(V) называется тензорной алгеброй пространства V. Умножение в T(V) задается явно формулой
(re і <8... (8 хп)(хп+\ <8 ... (8 хп+т) = Xi (8 ... <8 хп ® x„+i (8 ... (8 xn+m,
(5.1)
где xl, . . . , хп,жп + 1, ... ,хп+т — элементы из V. Единицей для этого умножения является образ единичного элемента 1 в k = T0(V). Пусть iv — каноническое вложение V = T1(V) в T(V). Из (5.1) мы имеем
Xi (8 ... ®хп = iv(xi)... iv(xn), (5.2)
что позволяет положить
Xi... хп = Xi <8>... <8 хп (5.3)
для произвольных элементов х\,... ,хп пространства V.
Предложение 2.5.1. (а) Алгебра T(V) градуирована, так что Tn(V) — подпространство однородных элементов степени п.
(б) Для любой алгебры А и любого линейного отображения / : V —> А существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр /: T(V) —> А такой, что f о iv = f. Таким образом, отображение f н-» / о iy определяет биекцию
НотMg(T(V),A) ^ Hom(F1A). (5.4)
(в) Пусть I — множество индексов, нумерующих базис в пространстве V. Тогда тензорная алгебра T(V) изоморфна свободной алгебре к{/}.
Доказательство. Часть (а) очевидна. Докажем утверждение (б). Если отображение / существует, то в силу (5.3) оно обязано иметь вид
/(xi ...хп) = f(x і)... f(xn).
Отсюда следует единственность /. Для доказательства существования непосредственно проверяется, что предыдущая формула задает гомоморфизм из алгебры T(V) в А.2.5. Тензорные и симметрические алгебры
45
(в) Согласно следствию 1.5, если {єі}іЄ/ — базис в пространстве V, то {єі! е»„ }»!,... ,і„є/ — базис линейного пространства Tn(V). Когда п пробегает множество всех неотрицательных целых чисел, мы получаем базис в T(V), который, очевидно, биективен базису в к{/}. Указанная биекция индуцирует изоморфизм между этими линейными пространствами. Умножение в T(V) соответствует приписыванию слов в к{/} при этом изоморфизме.
Дадим другое, более элегантное, доказательство утверждения (в). Из (1.5), (1.8), (5.4) и (1.2.2) мы имеем следующую цепочку естественных биекций:
Пусть а — композиция этих биекций. Для начала возьмем А = T(V) и положим ip = a(idx(v)); это есть гомоморфизм из алгебры к{/} в T(V). Теперь возьмем А = к{/} и положим ф = a_1(idk{7j); это — гомоморфизм из алгебры T(V) в к{/}. Мы утверждаем, что (р и ф — изоморфизмы между T(V) и к{/}. Сначала заметим, что биекция а естественна, то есть для любого гомоморфизма алгебр /: А А' мы имеем
для всех и) Є Нотд/g(T(F), А). Теперь рассмотрим композицию tp и ф. С одной стороны, мы получим
фо(р = фо а( idT(v)) = а(ф о idT(v)) = а(ф) = idk{/},
в то время как с другой стороны, мы имеем
HonMte(T(F)1A) ? Hom(F1A) ^
^ Yl Hom(kei,A)
^ Homset(/,A) S ^HomAJg(k{/},A)
/ о а(ш) = a(f о ш)
а(ір оф) = іро а(ф) =ір о idk{/} = <р,
откуда ср о ф = а г(ср) = id^y).
?46
Глава 2. Тензорные произведения
Определим понятие симметрической алгебры. Если F — векторное пространство, его симметрической алгеброй S(V) называется фактор-алгебра S1(F) = T(V)/I(V) тензорной алгебры T(F) по двустороннему идеалу /(F), порожденному элементами ху — ух, где х и у пробегают F. Если xi,... ,хп — элементы V, мы снова обозначаем через Xi... хп класс эквивалентности произведения х\.. .хп в S(V). Образ пространства Tn(V) при проекции T(F) на S1(F) обозначается через Sin(F). Пусть гу — каноническое отображение из F = T1(F) в S1(F).
Предложение 2.5.2. (а) Алгебра S(V) коммутативна и градуирована, так что Sn(V) есть подпространство однородных элементов степени п.
(б) Для произвольных алгебры А и линейного отображения f : V —>¦ -* А таких, что f(x)f(y) = f(y)f(x) для любой пары (х,у) элементов V, существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр f : S(V) —> А такой, что f oiv = /.
(в) Если I — множество индексов, нумерующее базис в V, то симметрическая алгебра S(V) изоморфна алгебре многочленов к[7] с порождающим множеством I.