Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Нот(ф^,у)->ПНот^'П (1.5)
ієі ІЄ/
заданное формулой /»-»•(/ ° есть изоморфизм. Предложение 2.1.4. Мы имеем
= (1.6)
ієі ієі зо
Глава 2. Тензорные произведения
Доказательство. Согласно следствию 1.2 и формуле (1.5), мы имеем цепочку изоморфизмов
Нот((0Ci) SHom^tfilHom(V1W)) *
ІЄІ ІЄІ
З ДНот(С/ьНот(Т/,Ж)) S
ІЄІ
2 JjHom([/t ® V,VV) ^
ІЄІ
^Hom (Q)(Ui®V),wy
ІЄІ
Это имеет место для любого векторного пространства W. Классический аргумент, который мы приведем со всеми деталями во втором доказательстве предложения 5.1 (в), завершает доказательство. ?
Напомним также понятие прямого произведения векторных пространств. Пусть (Vi)ie/ — семейство линейных пространств, занумерованных множеством индексов I. Имеются векторное пространство Пієі^іі называемое прямым произведением семейства (V)z6/> и линейные отображения pj : Піє/ ^ Vj такие, что для всех линейных пространств U отображение
Hom(CZ5JJvi) ЦHom(CfjVi), (1.7)
ІЄІ ІЄІ
заданное как / (^i о /)г, является изоморфизмом. Как множест-во, Піє/ Vi можно представлять себе состоящим из всех наборов (Wi)ie/ таких, что Vi Є V для всех і. Тогда прямая сумма фіє/ V является подпространством в Jfіе/Vi, состоящим из наборов (Wi)ie/, в которых лишь конечное число Vi отлично от нуля. Если множество индексов I конечно, то понятия прямой суммы и прямого произведения совпадают. В противном случае прямая сумма — собственное подпространство прямого произведения.
Следствие 2.1.5. Пусть (Ui)ie/ — базис векторного пространства U и {vj}j?j — базис в V. Тогда множество {щ ® vj}(ij)€ixJ есть базис тензорного произведения U <S> V. Мы имеем, таким образом, dim(U ® V) = dim(U) dim(V). 2.2. Тензорные произведения линейных отображений
33
Доказательство. По определению прямой суммы мы имеем
и V = 0 ki»j. (1.8)
ІЄ/ j?J
Применяя предложения 1.3, 1.4 и равенство к ® к = к, мы получаем
U®V^ 0 k(ui®vj). ?
(¦i,j)eixJ
Введем понятие свободного модуля над алгеброй А, используя тензорное произведение. Свободным называется модуль вида A ® V, где V — некоторое линейное пространство, а А действует на А ® V по формуле
а(а' ® v) = аа' ® v
для всех а, а' Є A, v Є V. Базис А-модуля M — это подмножество {?г}гб/ элементов M такое, что отображение
(Ог)гб/ У^а^г
ІЄІ
из прямой суммы фгє/ AbM является изоморфизмом. Согласно предложениям 1.3, 1.4 мы имеем
0 ^ — 0И ® k) = A <g> V,
ІЄІ ІЄІ
где V = фіЄ/ к. Отсюда следует, что А-модуль имеет базис, если и только если он является свободным.
2.2. Тензорные произведения линейных отображений
Пусть / : U U', g : V —» V' — линейные отображения. Определим их тензорное произведение / <S> g: U ® V —>¦ U' ® V' по формуле
if ®g)(u®v) = f(u)®g(v) (2.1)
для всех и из U, V из V. Оно приводит к линейному отображению
Л: Hom({7, U') ® Hom(V, V') -> Hom(V ®U,U'® V'), (2.2) зо
Глава 2. Тензорные произведения
задаваемому формулой
(А(/ ® О«) = /(«) ® (2.3)
Причины перестановки пространств UhVb (2.2) станут ясны при формулировке предложения 3.5.2 и в главе 14. Основным результатом настоящего параграфа является следующая
Теорема 2.2.1. Если хотя бы одна из пар (С/, U'), (V, V') или (U, V) состоит из конечномерных пространств, то отображение А является изоморфизмом.
Доказательство. Предположим, что пространства UnU' конечномерны. Мы хотим показать, что отображение Л из (2.2) есть изоморфизм. Мы будем делать это, переходя от Л к более простым отображениям. Сначала напишем U = фзЄ/киі, где (Ui)ie/ — конечный базис пространства U. Вследствие изоморфизмов (1.5), (1.6) Л превращается в отображение из (Jji Hom(kuj, U')) ® Hom(V, V) в I^Hon^V ® кщ,и' ® Vf). Так как множество I конечно, мы можем заменить Пі на Фі- После еще одного применения (1.6) нам остается доказать, что отображение
Л: Hom(kiij, Uf) ® Hom(V, Vf) Hom(V ® Icuij U' ® V")
является изоморфизмом в специальном случае U = кщ.
Так как пространство kuj одномерно, доказательство последнего утверждения сводится к проверке, что отображение
Л': U' ® Hom(V, V) Hom(V, U' ® V), (2.4)
заданное формулой
Л'(и'®/)(«) = «'»/(«),
является изоморфизмом. По нашему предположению, мы имеем также Uf = фіє// ku^ для некоторого конечного базиса {u^)ie/'. Снова применяя (1.6), (1.7) и тот факт, что прямое произведение по конечному множеству индексов If есть прямая сумма, получаем
Uf ® Hom(V, V) S 0 kuj ® Hom(V, V)
ІЄ/' 2.2. Тензорные произведения линейных отображений
35
и
Hom(F, U' ® Vr') = П Hom( V ku'i ® v')-іє/'
Это позволяет разложить Л' в прямую сумму отображений
Л': ku'i ® Hom(F, V') -> Hom(F, ku^ ® F').
В этом специальном случае А' задается формулой A'(itJ ® /)(и) = = которая, очевидно, определяет изоморфизм. Следовательно,
отображение А' из (2.4) — также изоморфизм, что завершает доказательство.
Подобные рассуждения работают и в двух оставшихся случаях. ?
Мы извлечем отсюда два следствия, касающихся пространства V* = Hom(F, к), двойственного к векторному пространству F. Чтобы получить первое, применим теорему 2.1 к случаю U' = F' = к.
