Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
End(F) VSV* -? V*SV к. (3.12)
2 Формально в правой части равенства должно стоять Twy А_1/*Атх',у вместо/*. В случае, когда начальным или конечным пространством для линейного отображения является некоторое тензорное произведение X <8 У, где X и У конечномерны, большинство авторов предпочитает отождествлять (X <8 У)* и X' <8> У* при определении транспонированного отображения. См. также примечание на с. 53. — Прим. перев. 40
Глава 2. Тензорные произведения
Предложение 2.3.4. Пусть fug — линейные операторы на конечномерном пространстве V.
(а) След удовлетворяет соотношению
tv(fog)=tv(gof). (3.13)
(б) Если (Pj)ij — матрица оператора f в некотором базисе пространства V, то
tv(f) = Yfi- (3-14)
і
(в) Мы также имеем
tr(.Г) = tr (/). (3.15)
Доказательство, (а) Из линейности следа достаточно доказать (3.13) для
/ = ^vy{v ®а) и g = XVy(w®?),
где V, и) Є V, а, ? Є V*. Согласно лемме 2.5, имеем fog = \v,v{ot(w)v ® (8)/3). Следовательно, tr(/og) = a(w)?(v), что, очевидно, равно tr(/og).
(б) Из соотношений (3.2), (3.3) мы получаем
і j і
(в) Равенства (3.15) следуют из (3.8) и (3.14). ?
Следующий результат показывает, как след выражается через отображение вычисления и переставляющее отображение.
Предложение 2.3.5. Композиция следующих отображений есть умножение на след оператора f : V V:
k Jv+ V ®V* V ®V* -? V*®V J^ k.
Мы завершаем изложение этих общих фактов введением понятия частичного следа оператора / на пространстве U ® V. По теореме 2.1 отображение f ® g А(/ <8> д) о щу является изоморфизмом 2.4. Тензорные произведения алгебр
41
Л из End(CZ) ® End(F) в End(CZ ® F). Мы определим tri и tr2 с помощью следующей коммутативной диаграммы:
End(F) < tri End(CZ ® V) ^2 > End(CZ)
"г ТА T- (3.16)
k® End(F) ^ii- End(CZ) ® End(F) End(CZ)^k
Лемма 2.3.6. Если /(щ ® Vj) = ]Tfc г Jijuk ® vi для некоторых базисов в CZ и V, то
tri (J)(Vj) = Yfi1JvI и tv2(J)(Ul) = Yfihk- (3.17)
і,I j,k
Мы также имеем tr(tr2(/)) = tr(trj(/)) = tr(/).
Доказательство оставляется читателю. ?
2.4. Тензорные произведения алгебр
Имея две алгебры A vi В, мы зададим структуру алгебры на их тензорном произведении А® В формулой
(a®b)(a'®b') = аа'® ЬЪ', (4.1)
где а, а' € A, b, Ь' € В. Мы называем А® В тензорным произведением алгебр А и В. Единицей в ней является 1 ® 1. Определяя г'д(а) = а ® 1 vi ів (Ь) = 1 ® Ь, получаем гомоморфизмы алгебр і а '¦ А А ® В и ів ¦ В —»• А®В. Ввиду равенства (4.1) для всех а € A, b € В выполняется следующее соотношение:
iA(a)iB(b) = iB(b)iA(a) = a®b. (4.2)
Тензорное произведение алгебр обладает следующим свойством универсальности.
Предложение 2.4.1. Пусть J: A-^Cug: В С — гомоморфизмы алгебр такие, что в алгебре С выполняется равенство 42
Глава 2. Тензорные произведения
f(a)g(b) = g(b)f(a) для любой пары (а, ь) є А х В. Тогда существует, и притом единственный, гомоморфизм алгебр f ® g: А® В —ї С такой, что (/ ® д) о гА = / и (/ ® д) о гв = д.
Предложение 4.1 можно перефразировать, сказав, что Нотд^(А ® <8)В, С) — это подмножество в НотAig(A, С) х Нотд^(Б, С), состоящее из всех пар (/, д) гомоморфизмов, чьи образы коммутируют в С. В частности, если С — коммутативная алгебра, то мы имеем
НотAlg(A ®В,С) ? HomA]g(A С) х НотAlg{B, С). (4.3)
Доказательство. Любой элемент алгебры А® В представляется конечной суммой элементов вида а ® Ь. Согласно формуле (4.2) отображение / 0 д (если оно существует) должно иметь вид
(/ ® д)(а ® b) = (f ® g)(iA(a))(f ® g){iB(b)) = f(a)g(b).
Отсюда следует утверждение о единственности. Для доказательства существования отображения f ® д надо проверить, что предыдущая формула задает гомоморфизм. Для этого мы используем предположение коммутативности следующим образом
(/ ®д)(а® b)(f ® д)(а' ® Ь') = f(a)g(b)f(a')g(b') =
= тмзшьг) =
= f(aa')g(bb') =
= if ®д){аа'®bb'). ?
Мы применим предложение 4.1 к ситуации, встретившейся в главе 1.
Предложение 2.4.2. Пусть А = к{Х}/1 — фактор-алгебра свободной алгебры с некоторым порождающим множеством X. Рассмотрим две копии X' и X" множества X. Пусть I1 и I" - соответствующие идеалы в к{А"'} и к{Х"}. Тогда тензорное произведение А® А изоморфно алгебре
А®2 = к{х' u Х"}/(Ґ, I", Х'Х" - Х"Х'),
где X' U X" обозначает дизъюнктное объединение двух множеств, Х'Х" — Х"Х' — двусторонний идеал, порожденный всеми элементами вида х'х" - x11x1, х' є X', х" є X". 2.5. Тензорные и симметрические алгебры 43
Доказательство. Для любого элемента х обозначим его копию в X' (соответственно в X") через х' (соответственно через х"). Полагая <р'(х) = х' и <р"(х) = X", получаем гомоморфизмы алгебр ip',tp"-- А —> А®2. Так как х'у" = у"х' по определению А®2, мы имеем ip'(x)(?"(y) = i?"(y)(p'(x) для любой пары (х, у) элементов из X. Согласно предложению 4.1 существует гомоморфизм алгебр ср: А® А —> Л®2 такой, что ip(x ®у) — х'у".
Обратно, мы получим гомоморфизм ф из алгебры А®2 в A (S) А, положив ф(х') =101и Ф(х") = 1 ® X, где х' Є X', х" Є X". Легко проверить, что отображения </? и ф взаимно обратны. ?
