Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
AxA
та, а
-» а x а
(1.3)
коммутативен, где тА)А — переставляющее отображение, меняющее местами сомножители: тд^а ® а') = а' ® а.
Гомоморфизм алгебр /: (A,?,rj) —> (A',?',r]') — это линейное отображение / из А в А' такое, что
?'o(f®f)=fo? и forj^T)'.
(1.4)
Теперь мы получим определение коалгебры, систематически обратив все стрелки в предыдущих диаграммах.
Определение 3.1.1. (а) Коалгеброй называется тройка (С, A1 є), где С — векторное пространство, А: С —ї С ® C1 є\ С —» к — линейные отображения, удовлетворяющие следующим аксиомам (Coass) и (Coun). (Coass): Квадрат
С д
С®С
A®id
> с®с
id®A
>С®с®с
(1.5)
коммутативен.
(Coun): Диаграмма
С «
e®id
С®С -1? COk
С
(1.6) 52
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
коммутативна. Отображение Д называется коумножением, а є — ко-единицей коалгебры. Диаграммы (1.5), (1.6) выражают тот факт, что коумножение Д ко ассоциативно и обладает коединицей 3 . Если, более того, коммутативен треугольник (Cocomm)
(1.7)
гДе Тс,с — переставляющее отображение, говорят, что коалгебра С кокоммутати вна.
(б) Рассмотрим две коалгебры (С, Д, є) и (С, Д', є'). Линейное отображение / из С в С' называется гомоморфизмом коалгебр, если
(/®/)оД = Д'о/ и є = є' of. (1.8)
Легко проверить, что композиция двух гомоморфизмов коалгебр снова есть гомоморфизм коалгебр.
Приведем несколько примеров коалгебр.
Пример 1. (Основная коалгебра.) Поле к имеет естественную структуру коалгебры, в которой Д(1) = 1®1 и є(1) = 1. Более того, для любой коалгебры (С, А, є) отображение є: С —> к является гомоморфизмом коалгебр.
Пример 2. (Противоположная коалгебра.) Для любой коалгебры С = (С, А, є) положим
Д°р = тс,с о А- (1.9)
Тогда (С, Дор,?) является коалгеброй, которую мы называем противоположной коалгеброй и обозначаем Ccop.
Следующее утверждение связывает алгебры и коалгебры.
Предложение 3.1.2. Двойственное линейное пространство к коал-гебре имеет структуру алгебры.
3 Для краткости последнее свойство называется также коунитальностью. Прим. ред. 3.1. Коалгебры
53
Доказательство. Пусть (С, А, є) — некоторая коалгебра. Вспомним об отображении А: С* ® С* -» (С ® С)* из следствия 2.2.2. Положим4 A = Ao тс,с*, А = С*, ? = А* о А и г] = є*, где * в верхнем индексе у линейного отображения обозначает транспонирование. Тогда (А,р,,г]) является алгеброй (используйте коммутативные диаграммы (1.1), (1.2) и (1.5), (1.6)). ?
ПРИМЕР 3. (Коалгебра над множеством.) Пусть X — некоторое множество, С = k[X] = krr — векторное пространство с базисом X. Мы задаем структуру коалгебры на С, полагая
А(х) = х®х и є{х) = 1, (1.10)
где X G X. Двойственная алгебра С* есть алгебра функций на X со значениями в к. Действительно, линейная форма / на С определяется своими значениями на базисе X. Пусть /' — другая линейная форма. Тогда
(//')(*) = М/ ® f')(x) = HI ® /')(A(s)) = f(x)f'(x).
Наконец, отметим, что единицей алгебры С* является постоянная функция е. Мы вернемся позднее к этому примеру в случае, когда X имеет вдобавок групповую структуру.
Вообще говоря, пространство, двойственное к алгебре, не обладает естественной структурой коалгебры. Однако в конечномерном случае мы имеем следующий результат (см. также параграф 9).
Предложение 3.1.3. Линейное пространство, двойственное к конечномерной алгебре, имеет структуру коалгебры.
Доказательство. Пусть (A,?,rj) — конечномерная алгебра. Тогда отображение А из А* ® А* в (А ® А)* является изоморфизмом, что позволяет определить Д как Д = А 1 о Мы также полагаем є = rj*. Используя коммутативные диаграммы (1.1), (1.2) и (1.5), (1.6), можно проверить, что (А*, Д,є) является коалгеброй. ?
4 Заметим, что отображение ? = Д* о А из доказательства предложения 3.1.2 и отображение Д = А о fi* из доказательства предложения 3.1.3 будут обозначаться в главе 9 просто через Д* и fi* соответственно. Такие обозначения, подразумевающие сохранение порядка тензорных сомножителей при транспонировании (ко)умножения, общеприняты. — Прим. перев. 54
Глава 3. Язык алгебр Хопфа
Пример 4. (Матричная коалгебра.) Пусть А = Мп(к) — алгебра nxn-матриц с элементами из к. Обозначим через Eij матрицу, все элементы которой равны 0, кроме (i,j)-го элемента, равного 1. Множество матриц {Eij}i^ij^n является базисом в Mn(к). Пусть {2?} — дуальный базис. Тогда А* имеет структуру коалгебры (Л*, А, є), где
п
A(^ij) = Yxik ® Хкі и ?(xij) = 6ij- (1-11) fc=i
Действительно,
e(xij) = Xij{r](l)) = Xij(^Ekk) = Y6^kj = Sij,
к к
И
?*(xij)(Ekl <8 Emn) = Xij(р,(Eki <8 Enm)) = = SimXij(Ekn) = = SimSikSjn = = ^ ^ SjkSipSpmSjn —
P
= %ip(Eki)xpj (Emn) = р
= ^(E ^P ® irPj) (? ® -^mn)-
P
Пример 5. (Тензорное произведение коалгебр.) Тензорное произведение С <8 С" коалгебр (С, А, є) и (C", А', г') имеет структуру коалгебры с коумножением (id ® тс,с <8 id) 0 (А <8 А') и коединицей є ® є1.
Вернемся к примеру 3.
Предложение 3.1.4. Пусть XuY — два множества, XxY — их декартово произведение. Имеет место изоморфизм коалгебр
