Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
t
X(Z) = J V(t')dt'. о
Как следует из этой формулы, X (Z) является суммой гауссовых переменных и, следовательно, процесс X(t) тоже гауссов. Он имеет среднее значение, равное нулю, потому что
t
<V(Z')>dZ' = 0.
о
Средние берутся по ансамблю, определенному выше. Теперь нам нужно вычислить среднее и t,
<Х (Z1) X (Z2)> = J d/' J dt" <V (t') V (*")> = о о
<1 и
= <V2> J dt' J d/'e-vi ''-'"I.
о о
Интеграл берется элементарно. Поскольку левая часть, по определению, симметрична по Z1, Z2, достаточно вычислить ее для 0 ^/, ^ ^Za. В результате получим
<Х (Z1) X (Z2)) = Z1 - Jr + J2- {е-V. + е-V. - e-v «.-'.>} .
__(8.4.12)
* P. S. Hubbard, Phys. Rev., А15, 329 (1977); G. W. Ford, J. Т. Lewis, and J. McConnel. Phys. Rev., A19, 907 (1979); G. Wyllie, Physics Reports, 61, 327 (1980).
207- Теперь процесс X(t) полностью определен, поскольку он гауссов, а его первые два момента известны. Однако он не совпадает с винеровским процессом, определенным (8.3.1), потому что его автокорреляционная функция сложнее, чем (4.2.7а). Действительно, X(t) даже не марковский процесс, из-за того что он все еще описывается в мелкомасштабной временной шкале, относящейся к рэлеевской частице. В крупномасштабной временной шкале допускаются только разности времен, значительно превышающие время затухания скорости 1/у:
ti>l/y, t2 — ti>Vy.
В этом приближении (8.4.12) сводится к (4.2.7а) и X(t) становится неотличимым от решения (8.3.1). Отметим, что значение константы а2 в (8.3.1) нам удалось найти здесь без привлечения дополнительных сложностей, включая гравитационное поле.
Упражнение. Возьмите ансамбль рэлеевских частиц, находящихся в момент t = 0 в начале координат и имеющих максвелловское распределение скоростей. Покажите, что
Iim <XV)%> = 2D. (8.4.13)
/ ->- 00 t
(В кинетической теории это выражение часто используют в качестве определения коэффициента диффузии, несмотря на очевидный факт, что, строго говоря, для конечного сосуда предел обращается в ноль.) Упражнение. Постройте уравнение для P(V, t) в присутствии постоянной силы и выведите из него (8.3.5). Упражнение. Вероятность перехода за единичное время для скорости поршня Рэлея в газе дается выражением
(8.4..4)
где M—масса поршня, А — его сечение, т—масса молекулы газа, v—пл.от-ность числа молекул, F— распределение скорости молекул*. Упражнение. Вычислите из (8.4.14) моменты переходэ, взяв в качестве F распределение Максвелла. Покажите, что (8.4.1) и (8.4.2) справедливы, когда скорость V мала по сравнению со средней скоростью молекул газа и, следовательно, ее можно использовать для описания равновесных флуктуаций, если М ^>т.
Упражнение. Сформулируйте процесс, описанный VnX, рэлеевской частицы, как составной марковский процесс в смысле § 8.7.
8.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ОДНОШАГОВЫМ ПРОЦЕССАМ
Предположим, что мы столкнулись с задачей, связанной с одно-шаговыми процессами, в которой коэффициенты гп и gn нелинейны, но могут быть представлены гладкими функциями r(n), g(n). Термин «гладкие» означает, что функции г (я) и g(n) не только непре-
* Различные аспекты соответствующего основного кинетического уравнения изучены в работах: С. Т. J. Alkemade, N. G. van Kampen, and D. К. С. Mac-Donald, Proc. Roy. Soc. A271, 449 (1963); M. R. Hoare and C. H. Kaplinsky, Physica, 81A, 349 (1975).
208- рывны и достаточное число раз дифференцируемы, но также что они мало меняются между точками п и п + 1. Предположим далее, что мы интересуемся решениями Pn (/), которые также можно представить гладкими функциями Р(п, t). Тогда имеет смысл аппроксимировать задачу с помощью такого описания, в котором п рассматривается как непрерывная переменная. Более того, поскольку изменение п на отдельном шаге мало по сравнению с другими длинами, встречающимися в задаче, можно ожидать, что основное кинетическое уравнение можно аппроксимировать уравнением Фоккера — Планка. Общая схема, изложенная в § 8.2, дает два коэффициента, но здесь мы будем использовать другой способ вывода, специально приспособленный для одношаговых процессов.
Основное кинетическое уравнение, которое нам нужно решить, имеет вид
Р(п, /) = (Е — \)r(n)P (я, /) + (Е-1— I) g (п) P (п, t). (8.5.1)
Поскольку оператор шага E здесь действует на гладкие функции,
его можно заменить рядом Тейлора:
* = + • <8-5-2>
Тогда, опуская все производные, порядок которых больше двух, получаем
Р(п, t) = l{r(n)-g(n)}P+±?-2{r(n) + g(n)}P. (8.5.3)
Это приближение Фоккера — Планка для одношаговых процессов.
В качестве примера возьмем подход Бюргесса к флуктуации в полупроводниках*. Пусть п — число носителей заряда в зоне проводимости, g(n)nr (п) —соответственно вероятности генерации и рекомбинации за единичное время. Нет необходимости задавать их явно, а достаточно лишь знать, что г(п) монотонно возрастает, a g (п) убывает с изменением п, как это следует из физических соображений. Вообще говоря, получить точное решение уравнения (8.5.3) не представляется возможным, да, наверное, этого и не следует делать, потому что оно все равно не имело бы большого физического смысла из-за тех приближений, которые мы уже сделали, чтобы получить (8.5.3). Однако следующие ограниченные выводы все же оказываются правильными, что будет показано в § 9.3 и 9.4.
