Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Сначала обычным путем получим соотношение для средних величин:
¦jt <У,-> = X Aii (0 <У/у, <«/,•>„ - уі0. (8.6.3а)
В матричных обозначениях, когда у—вектор с компонентами у;, имеем
-J-<г/> = Л (/)<*/>, <*/>„ = г/о- (8.6.36)
Вопрос о том, можно ли решить это уравнение явно, имеет положительный или отрицательный ответ в зависимости от вида матрицы А (/), но в любом случае решение имеет вид
<y>t = Y{t)y*, (8.6.4)
где Y (t)~— матрица эволюции, или пропагатор, определенный матричным уравнением
Y(t) = A (t)Y(t), F(O) == 1. (8.6.5)
Далее рассмотрим вторые моменты <«/,•; у/у. Умножая (8.6.1) на г/,г/у, получаем
<УіУ,> = X Aik <ihy;y + ? Ajk <УіУігУ + Bij. (8.6.6а) к к
С помощью (8.6.3) легко заметить, что это уравнение сохраняет свой вид, если моменты <г/,г/у> заменить на ковариации
<УіУ)> = <У;У/> — <УІ> <У/> = S17-
Тогда матрица H удовлетворяет уравнению
E = A3 + 3A+B, (8.6.66)
212- где А—транспонированная матрица А. Покажем, что это уравнение можно решить с помощью Y (/).
Преобразуем H в «представление взаимодействия» с помощью соотношения
Подставляя это в (8.6.66) и используя прямое и транспонированное соотношение (8.6.5), получаем
H ' = K-1BK-1.
Интегрирование дает
t
S' (Z)-H' (0) = 5 У-1 (Г) В (/') Y-1 (Ґ) At'. о
Выполняя обратное преобразование, получаем
t
H (/) = Y (О S (0) Y (t) + J Y (/) Y VT1B (Ґ) Y (t')'1 Y (/) At'. (8.6.7)
о
С начачьным условием (8.6.2) имеем H(O) = O.
Очень часто достаточно знать лишь первый и второй моменты. Теперь мы сделаем последний шаг, чтобы получить решение уравнения (8.6.1) с условием (8.6.2). Мы утверждаем, что решение—это просто распределение Гаусса, определенное только что вычисленными моментами:
P (у, t) = (2я)"Г ( Det H -1^ ехр [ ¦- І- (У - <У» E -1(У~<У» ] •
(8.6.8)
Для того чтобы проверить эту догадку *, используем сокращенное, но очевидное обозначение. Подстановка (8.6.8) в правую часть (8.6.1) дает
d{-Ay+±Bdjp = d{-Ay-±BB~1(y-<y>)}p =
= {—Tr Л —Tr (BE-1) I Я + (у-<у>) H-1X
X^ + yfiS"1^-^»}/». (8.6.9)
Левая часть превращается в
- тчг Det н)р -\Су-<Ь) ^rr (у~<у>) р + (у-<у>)р +
+ Су-<0)Е-^Р. (8.6.10)
* Систематическое решение дано в работе: М. Lax, Rev. Mod. Phys., 32, 25 (1960). См. также упражнения в конце параграфа.
213- Используя тождество Вронского и (8.6.66), первый член можно привести к виду
-jj-log Det S = Tr H-1S = Tr S-MS 4-Tr Л+ Tr S-1B =
= 2 Tr Л + TrS-1B. Во втором числе (8.6.10) используем тот факт, что
;- і ^a g-i — g-i^g-i_S-1BS-1.
dt dt
Третий член с помощью (8.6.3) записывается в виде
(у-<у»Е-'А <уу.
Собирая все три члена, находим, что они дают (8.6.9), что и требовалось доказать.
Упражнение. Найдите решение одномерного, зависящего от времени уравнения Фоккера — Планка
Упражнение. Броуновская частица в гармоническом потенциале описывается двумерным уравнением (см. следующий параграф)
дР(х, v. t) дР , дР , (д D.d*P\ ......
-Jt—<8А12)
Найдите Р(х, V, і) с начальным условием P {х, v, 0) = 6(х—x0)f>(v — v0).
Упражнение. Матрица 5 по определению симметрична и положительно определена (или по крайней мере полуопределена). Покажите, что S' обладает такими же свойствами. Покажите также, что уравнение (8.6.7) гарантирует выполнение этих свойств для E (/), если известно, что и 3 (0) обладает ими.
Упражнение. Предположим, что А не зависит от времени и обладает тем свойством, что все решения уравнения :(8.6.3) стремятся к нулю при t, стремящемся к бесконечности. Предположим также, что В (t) стремится к пределу. Покажите, что
OO
S(OO)=Sj К(т) B(O0)F(T) dx. (8.6.13)
о
Упражнение. Когда А и В не зависят от времени, уравнение можно записать в более явном виде. В частности, после замены переменных его можно привести к виду, в котором матрица В диагональна. Получите эти уравнения и найдите условие существования Е(оо).
Упражнение. При условиях, сформулированных в предыдущем упражнении, существует Ps (у). В тепловом равновесии оно совпадаете Pe (у), а корреляционная матрица 3(оо) = Не известна из равновесной статистической механики. Это позволяет выразить матрицу коэффициентов диффузии В через матрицу коэффициентов переноса А:
В ~— ASe — ЗеД.
Упражнение. Решите уравнение
дР (у, t) ,,, дР . Iv1B д2р ,ЯлШ
-Tj=- L с'- +T Z (t) дїідїі ¦ (8-6'1} і і, і
214- Упражнение. Наиболее общий вид линейного уравнения Фоккера — Планка — это дР(х, t) у-, дР V-. д д. 1 V- _ д*Р
St- = - L С'- ai? - L Ж7 *>Р+Т X, a^ ^ 15>
і і. і і, j
с зависящими от времени коэффициентами C1(Z). Ay (0> Blj (t). Решите это уравнение путем сведения его к (8.6.1) с помощью подстановки х,- — у,- -р + и,-(0. гДе и,- —решение уравнения
« = Л (0 и + с(0-
Упражнение. Пусть P (х, t) — заданное r-мерное, зависящее от времени распределение Гаусса
"1
Р(х, 0=(2я) 2 (DetM)1'8 ехр
— у Mu (х,—ц,) (х,—и,)
1.1
с заданными ц; и симметричной положительно определенной Mlj-(t). Покажите, что оно удовлетворяет уравнению вида (8.6.15), и определите Bljl Ajj, с,. Последние две величины не единственны; действительно, можно взять Ajj = 0.
