Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
201- увеличивать масштаб вероятностей перехода а, ?. Для того чтобы удержать период на естественных масштабах, нужно положить
? —a =T-Atz
с постоянной А, не зависящей от е. Аналогично, для того чтобы диффузионное расплывание не обратилось в нуль, надо положить
? + a = ?/e2.
Тогда (8.2.8) принимает вид
dPj?j)=(_B__+ I4-
dt \ 2є2 2е ) )fc дх ^ 2 fc дх* 1 ' " ' П
J_ei?. + ±e«i!l_ I-
1 V 2е2 2е J \ ь дх 2 дх2 " ' І
ґ)Р І гї^Р = + + (8-2-9)
Таким образом, мы получили уравнение Фоккера — Планка как точный результат в пределе є 0. Однако этот вывод неудовлетворителен, потому что на практике параметр є не стремится к нулю. Возникает вопрос: насколько хорошим приближением является приближение Фоккера — Планка для заданных а, ? (или в более общем случае для заданной W)? На этот вопрос дает ответ вывод уравнения, принадлежащий Планку, или более систематический вывод, приведенный в следующей главе.
Упражнение. Проверьте, что коэффициенты в уравнении (8.2.9) действительно
совпадают с коэффициентами в (8.1.6). Упражнение. Проверьте, что коэффициенты в уравнении (8.2.9) действительно
совпадают с коэффициентами в (8.1.6). Упражнение. Покажите, что разные зависимости а и ? от є не приводят к уравнению (8.2.9).
Упражнение. Основное кинетическое уравнение для мальтузианской популяции имеет вид
рп = а (Е — 1) npn+? (Е-1— 1) прп-
Выведите приближение (8.2.5) непосредственно, а также с помощью соответствующего е-п редела.
8.3. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Физическое описание броуновской частицы дано в § 4.1. Оно привело нас к заключению, что координату броуновской частицы X можно рассматривать как марковский процесс в огрубленном масштабе времени. Частица при таком движении совершает случайные прыжки вперед и назад по оси X. Прыжки могут быть любой длины, но вероятность больших прыжков убывает. Более того, вероятность симметрична и не зависит от начальной точки. Тогда
O1 = ^ = O, = = const.
202- Уравнение Фоккера — Планка для перехода имеет вид
дР(Х, t)_ а2 diP (X, t) dt 2 дХ2
(8.3.1)
Даже не решая это уравнение можно прийти к следующему важному заключению. Оно имеет тот же самый вид, что и уравнение диффузии (4.2.8), и на самом деле является уравнением диффузии для броуновских частиц в жидкости. Следовательно, 1I2Q2 тождественно совпадает с феноменологической константой D. С другой стороны, а2 выражается через микроскопические члены с помощью (8.2.4) или (8.1.6). Это приводит к соотношению Эйнштейна
D = » ' (8.3.2)
которое связывает макроскопическую константу D с микроскопическими скачками частицы.
Рассмотрим ансамбль броуновских частиц, которые при t = О все находятся в точке t = 0. Их координаты при /^0 составляют стохастический процесс X(t), который предполагается марковским, а его вероятности перехода определяются уравнением (8.3.1). Это винеровский процесс, определенный в § 4.2. Их плотность при />0 дается решением уравнения (8.3.1) с начальным условием Р(Х, 0) = 6(Х). Эти решения описываются формулой (4.2.5):
^ = Ylbfexp bw[
Мы получили гауссиан с максимумом в начале координат и шириной, возрастающей со временем по корневому закону:
V<X*{t)> = VWt.
Теперь рассмотрим ту же самую броуновскую частицу, подвергающуюся действию добавочной постоянной силы, скажем, воздействию гравитационного поля Mg в направлении —X. Если мы теперь запишем трение частицы об окружающую жидкость как My, то получим среднюю скорость дрейфа —g/y. Она накладывается на броуновское движение, так что теперь
<дх>.
2
= 2D. (8.3.4)
1 Д t V
Получающееся уравнение Фоккера — Планка имеет вид
дР (X, t) g дР п д*Р (Н з 5)
Физически очевидно, что это уравнение не имеет стационарного решения, когда X изменяется от —оо до + оо. Однако, если представить отражающее дно при X = O, уравнение нужно решать только
203- для области X > 0 с условием исчезновения потока на границе:
jP + D^z = 0 при X = O. (8.3.6)
Уравнение с этой модификацией уже имеет стационарное решение. Далее, из равновесной статистической механики мы знаем, что это стационарное решение не что иное, как барометрическая формула для плотности
Pe (X) = const - ехр — ^jJjr X j. (8.3.7)
Легко убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет (8.3.5) и (8.3.6) при условии, что
D=-Щ- (8.3.8)
Мы получили соотношение Эйнштейна, совместно с (8.3.2) оно связывает коэффициент затухания у со средним квадратом флуктуаций:
(0-3.4
Упражнение. В выражениях (8.3.4) предполагается, что присутствие поля не влияет на Для того чтобы оправдать это предположение, сравните смещение ДХ в присутствии поля со средним смещением A0X в его отсутствие
AX = A0X-(g/V)A/
и вычислите <ДХ2>/Дt. Упражнение. Решите уравнение (8.3.5) для — оо < X < оо, если Р(Х, 0) задано с помощью характеристической функции. Упражнение. Решите то же самое уравнение с помощью подстановки
Я(Х, t)=R{X. Oexp [-^f
Упражнение. Решите то же самое уравнение для 0 < X < оо с граничным 'условием (8.3.6) и произвольным Р(Х, 0). Упражнение. Рассмотрите правую часть уравнения (8.3.5) как линейный оператор W, действующий на пространство функций, определенных для 0 < < X < оо и удовлетворяющих (8.3.6). Проверьте, что оператор обладает свойством симметрии (5.7.5) и является отрицательно полуопределенным, а единственная собственная функция с нулевым собственным значением определяется формулой (8.3.7). Упражнение. Поясните, почему сверхзаторможенная частица, подвергающаяся воздействию внешней силы с потенциалом U (X), описывается уравнением
