Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение Фоккера — Планка (8.8.8) дает те же значения для первых двух моментов V, что и уравнение Ланжевена (8.8.1) с условиями (8.8.2) и (8.8.3). Тем не менее нельзя утверждать, что они эквивалентны, потому что высшие моменты не согласуются. Хотя уравнение Фоккера —Планка дает определенные выражения для них, уравнение Ланжевена — пока нет, потому что высшие моменты L(t) еще не определены. Поэтому обычно три приведенных выше предположения дополняют еще одним.
4. Все нечетные моменты L обращаются в нуль, а четные задаются тем же правилом (1.6.11), которое связывает моменты распределения Гаусса. Например,
<L (I1) L (Z2) L (t3) L (*,)> - <L (Z1) L (/,)> <L (*,) L (/4)> + . . . =
= P {6 {tx- tt) б (t3- tt) + б (Z1 -13) б (t2-1,) + б (Z1 - f4) б (/,-*,)}.
* В. Korsunoglu, Annals Phys., 17, 259 (1962).
** G. Ronca, J. Chem. Phys., 67, 4965 (1977).
*** N. E. Hill, Proc. Phys. Soc. (London), 82, 723 (1963); J. H. Calderwood and W. T. Coffey, Proc. Roy. Soc. A356, 269 (1977).
Л
Рис. 23. Упрощенная модель блуждающего осциллятора
222- Альтернативой этому можно поставить условие, что все высшие кумулянты обращаются в нуль. Это полностью определяет стохастические свойства L(Z) в терминах единственного масштабного параметра Г. Процесс L(Z), определенный таким образом, называют гауссовым белым шумом. С математической точки зрения такой стохастический процесс в действительности не существует, так же как дельта-функция не является функцией. Но и в физике он в действительности никогда не встречается, но является моделью быстро флуктуирующей силы.
Теперь мы можем показать эквивалентность уравнения Фоккера— Планка уравнению Ланжевена, дополненному предположением 4 следующим образом. В соответствии с (8.8.4) значения V(Z) являются линейной комбинацией значений, которые L принимает во все предыдущие моменты времени Z' (0 ^ Z' =^Z). Поскольку совместное распределение величин L (Z') является гауссовым, той V (Z) является гауссовым. По этой же причине совместное распределение V(Z1), V(Z2), ... является гауссовым. Тогда процесс V(Z), определенный уравнением (8.8.1) с начальным значением V(O), является гауссовым. С другой стороны, мы знаем, что решение уравнения (8.8.4) с этим начальным значением гауссово. Далее, коэффициенты уравнения (8.8.8) мы выбрали так, чтобы первый и второй моменты обоих гауссианов совпадали. Следовательно, гауссианы тождественно совпадают, что и требовалось доказать.
Упражнение. Постройте уравнение Фоккера — Планка, эквивалентное (8.8.9). Упражнение. Покажите, что свойство L (() быть гауссовым белым шумом выражается следующим тождеством для его характеристического функционала:
(ехр [i Sj k (t) L (t) dzj^ = exp
Irj(MO)2^
(8.8.10)
Упражнение. Подставьте (8.8.4) в характеристический функционал V (/) и по том используйте (8.8.10). В результате должно получиться явное выра жение для характеристического функционала V (t) и, следовательно, для всех его моментов. Докажите таким способом эквивалентность процессу Орнштейна — Уленбека, следующую из (8.8.8).
Упражнение. Докажите, что
t
W (0= 5 МО d''
является винеровским процессом. Тогда уравнение Ланжевена (8.8. ^можно также записать в виде
AV=-- уV At + Г1;2 d W (г),
где W — нормированный винеровскнй процесс. В этой формулировке несуществующий процесс L (t) заменяется на дифференциал процесса, который существует, но не является дифференцируемым. Упражнение. Рассмотрите стохастический процесс, образованный следующим образом. Пусть
К(0 = Н+(О —(/), (8.8.11)
где К + , Y-—две независимые реализации одного и того же процесса Кэмпбелла с гауссовой if (ср. с (3.1.10)). Покажите, что в соответствующем
223- пределе моменты У (/) стремятся к соответствующим моментам L(t). Тогда L(t) можно представить как плотную последовательность малых положительных и отрицательных импульсов. Упражнение. Стержневидная молекула вращается в плоскости и подвергается воздействию силы Ланжевена со стороны ее окружения:
Ф + ЇФ = 40-
Найдите величину <cos ф (Z1) cos ф (^)>s, которая является автокорреляционной функцией ^-компоненты дипольного момента молекулы. Указа ни е. Используйте (4.3.16)*. Упражнение. Процесс Орнштейна — Уленбека (4.3.10) и (4.3.11) удовлетворяет обобщенному уравнению Ланжевена с ядром, обладающим памятью:
t
'у (/).= -(1 -2а) у (t) + 2а (1-а) J е-"('-<') у (V) йі' -\-f (t),
— X
где f (t) — гауссов белый шум. Тогда из такого уравнения нельзя сделать вывод, что у не может быть марковским процессом, несмотря на интеграл по предыстории. Указание. Найдите с помощью преобразователя Фурье характеристический функционал стохастической функции / (/), определенной этим уравнением. Теперь рассмотрим уравнение Ланжевена:
y = A(y) + L(t). (8.8.12)
Будем считать А (у) нелинейной функцией, но уравнение назовем квазилинейным, чтобы подчеркнуть тот факт, что коэффициент L(t) по-прежнему постоянен. Хотя его общее решение нельзя выписать явно, все же можно показать, что оно эквивалентно квазилинейному уравнению Фоккера — Планка:
