Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Термин «сверхзаторможенная» относится к предположению, что у столь велико, что скорость можно взять пропорциональной силе (ср. с (8.7.1) и (10.2.4))
Упражнение. Для маятника, находящегося в потенциальном поле U (0) и подвергающегося действию постоянного вращающего момента т, это уравнение имеет вид
д-ЧЙ=іт[І{и'Ф)-Х}Р + кТж\ <0<e<2*,. (8.3.11)
204- Поскольку угол ограничен, стационарное решение не обладает нулевым потоком, как это было в случае (8.3.6), но вместо этого мы имеем условие P (O) = P (2л). Найдите стационарное решение и соответствующий поток и выведите отсюда среднюю угловую скорость <0>*.
Упражнение. Пусть E (0 = ехр [ісо0/ —|— ІФ (/)] представляет собой волну со случайной фазой Ф, вероятность которой удовлетворяет уравнению
дР(Ф, Q
dt ~~
-D
дгР дФ*
Для детектора с частотой отклика выходной сигнал
2
J_ Г ,1^,..1 Н™ f
2л
U =
1- f t(G>)dG> j e~ia'E(t)dt
Покажите, что
Dj л
+ D2
d(o.
(8.3.12)
Таким образом, случайная фаза приводит к уширению лоренцевой спектральной линии.
Упражнение. Две частицы диффундируют независимо. Покажите, что расстояние между ними подчиняется уравнению диффузии с постоянной диффузии, равной сумме коэффициентов диффузии отдельных частиц*.
8.4. РЭЛEEBCKAЯ ЧАСТИЦА
Рэлеевская частица—это то же самое, что и броуновская частица, но рассматриваемая в более мелкой временной шкале. Временные промежутки А? предполагаются малыми по сравнению со временем релаксации скорости, но по-прежнему большими по сравнению с длительностью отдельных столкновений с молекулами газа. Тогда в качестве стохастической функции следует рассматривать скорость, а не координату частицы. Достаточно ограничиться рассмотрением одномерного случая, что мы иногда будем подчеркивать, употребляя название поршень Рэлея**.
Макроскопический закон, которому подчиняется скорость V, является законом линейного затухания
V = — yV, (8.4.1>
если скорость V не слишком велика. Тогда
O1(V) = ^ = -TV-
Второй момент перехода должен быть положительным даже при V = O, и поэтому его можно считать постоянным, когда скорость V
* М. V. Smoluchowski, Z. Phys. Chemie, 92, 129 (1917).
** Обзор дан М. R. Hoare в кн.: Advances in Chemical Physics, 20 (I. Pri-gogine and S. A. Rice eds., Wiley — Interscience, New York, 1971. См. также: J. A. Barker, M. R. Hoare, and S. Ravel, J. of Physics (London) A14, 423 (1981); W. Driessler; J. Statist. Phys., 24, 595 (1981).
205- не слишком велика:
а2 (V) = а2,0 + O(V2)^a2,0. (8.4.2)
Тогда уравнение Фоккера — Планка имеет вид дР(У, О , д уо , «2,о д*Р
Из равновесной статистической механики мы знаем, что стационарное решение должно иметь вид
где T—температура газа. Подстановка в уравнение (8.4.3) дает
a2'° kT /О Л
- = Tir- (8.4.5)
В результате получаем уравнение Рэлея, описывающее плотность вероятности для скорости тяжелой частицы:
dP(V, t) | д VD , kT д2Р I ,Я Л
—Зі—-У] dVVP + -WWr\- (8-4-6)
Это линейное уравнение Фоккера — Планка. С точностью до константы, которую можно устранить масштабным преобразованием, оно совпадает с уравнением (4.3.20), описывающим вероятность перехода для процесса Орнштейна — Уленбека. Стационарное решение уравнения (8.4.6) совпадает с Р, заданным (4.3.10). Тогда в состоянии равновесия V(t) — процесс Орнштейна —Уленбека.
Упражнение. Выведите непосредственно из уравнения (8.4.6), что для фиксированного V(O) = V0 имеют место соотношения
<V (OV0= Voe-V, (8.4.7)
kJL
M
кТ
<V (02>Vo = Vl e-2V<+ _ (1 _e-«v<). (8.4.8)
Следовательно,
ЬТ
«y(t)V(t + x)»e = -ij-e-Vt. (8.4.9)
Упражнение. Покажите, что решение уравнения (8.4.6) с начальным условием P (К, 0) = 6(V—V0) дается выражением
M • U—е v ) j ехр
P(V, о =
2 kT 1-е-W
. (8.4.10)
Упражнение. Найдите решение, предположив, что оно имеет гауссов вид P(V, 0 = ехр [— AVi-BV-С], и найдите коэффициенты А, В, С как функции времени t.
Упражнение. Решите уравнение (8.4.6) систематически преобразовав его в уравнение, описывающее характеристическую функцию G (A, t) вероятности Р. Это уравнение первого порядка и его можно решить с помощью метода, изложенного в § 6.6.
206- Упражнение. Вращение частицы, имеющей форму эллипсоида и взвешенной в жидкости, описывается макроскопическим уравнением движения
1 /W, = 2 SiJk1 /M/W*—C1-W/, І. к
где I1 — три главных момента инерции, toy — компоненты угловой скорости вдоль главных осей, —абсолютно антисимметричный тензор Леви — Чивита, а С, — коэффициенты трения. Соответствующее уравнение Фоккера— Планка имеет вид*
itSdi=-E Т7 =:¦! ? '+? TST (81">
і \j. к I 1
Найдите соотношение между С,- и Dr
Итак, мы описали поведение частицы в мелкомасштабной временной шкале. Теперь мы должны получить отсюда огрубленное описание, как это было сделано в § 8.3. Рассмотрим ансамбль одинаковых, но независимых броуновских частиц, которые при Z = O все находятся в точке X = O со скоростями, распределенными по равновесному закону. Их скорости составляют процесс Орнштейна — Уленбека, и нам нужно изучить случайный процесс X(t), определенный следующим образом:
