Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы упростить уравнения, исключим коэффициент kT/M масштабным преобразователем переменных:
V=-OVrWjM, X = xVWjM, F(X) = /(X)VrШт.
Тогда уравнение можно записать в виде
?(" + ?)-7(*+'?+"^)''- (8.7.5,
Его можно решить, полагая
Р(х, и, t) = PM + у"1/501 + У-Рш+ ¦¦ ¦
и удовлетворяя уравнение для каждого порядка по параметру у-1. Члены порядка имеют вид
Это уравнение можно решить, полагая
Pw (х, V, /) = е-"'!'2ф(*. t) (8.7.7)
с произвольной функцией ф(х, г1).
* Случай малых у исследован в работах: Н. Risken and Н. D. Vollmer, Z. Phys. ВЗЗ, 297 and В35, 177 (1979). Случай произвольного / рассмотрен в работе: Н. Risken, Н. D. Vollmer, and Н. Denk, Phys. Letters, 78A, 22 (1980).
** S. Chapman and T. G. Cowling, The Mathematical Theory of Non-Uniform Cases (University Press, Cambridge, 1939). Для настоящего приложения см. также: U. М. Titulaer, Physica, 91А, 321 (1978); 100А, 234 and 251 (1980). Другие методы обсуждаются в работе: Das, Physica 98А, 528 (1979).
217-Члены порядка j 1 дают
+ = + (8.7.8)
Это уравнение надо решить относительно Рш. Однако оператор { }, действующий на Pw, нельзя обратить, потому что его собственное значение равно нулю. Соответствующий левый собственный вектор является константой и действительно, интегрируя (8.7.8) по V, получаем
Тогда условие разрешимости (8.7.8) относительно Ра) равносильно ограничению на оставшуюся до настоящего времени произвольной функцию ф. Это ограничение состоит в том, что ф и, следовательно, Рш не должны зависеть от времени.
Удовлетворив условие разрешимости, мы можем теперь приступить к определению Рш из уравнения
(fr-*)«**
Легко видеть, что оно удовлетворяется, если
Pw (х, V, t) = v (7ф — -?-) e-w + mx, t)e-1I^ '(8.7.9)
с произвольной функцией г|з(х, t).
Члены порядка у-2 с учетом (8.7.9) дают
J -L. у _]--I. Я<2) = у2_!. ( fw — ^t ) е-'/.»» 4-
\dvV+dv*\ U dx {'У dx +
-Hl-V*) f (fa—+ (8.7.10)
Интегрирование no v опять приводит к условию разрешимости:
В этом месте мы прервемся и обобщим результат:
Р(х, и, t) = C-t^t [ф(*)4-ї"1і;(/ф—O + Oy2],
(8.7.12)
где ifi удовлетворяет (8.7.11). Мы интересуемся распределением по х и поэтому интегрируем ПО V.
Р(Х, 0 = + 0 + Oy-2]. (8.7.13)
Уравнение (8.7.11) теперь приходит к виду 218Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем уравнение, тождественно совпадающее с (8.7.1).
Упражнение. Решите уравнение Крамерса для случая, когда функция F постоянна.
Упражнение. Почему условие справедливости (8.7.1) есть | F' | < My2? Объясните зго!
Упражнение. Выражение (8.7.7) не единственное решение уравнения (8.7.6), так же как (8.7.9) не единственное решение уравнения (8.7.8). Найдите остальные решения и покажите, что они недопустимы. Упражнение. Уравнение (8.7.4) можно решить явно для частного случая гармонического потенциала F (х) = — а2х. Результат содержится в (8.6.12), но явный вывод требует некоторого числа элементарных интегрирований Определив P (х, V, ?), можно найти частное распределение P (х, t) и убедиться в том, что оно удовлетворяет уравнению (8.7.1) при больших у. (Есть и более прямой путь, когда сначала из общего выражения (8.6.12) находят частное распределение, а затем приводят его к нужному виду необходимым числом интегрирований.) Упражнение. Покажите, что уравнение (8.7.14) остается справедливым и в следующем порядке.
Упражнение. Сведите (8.7.1) к задаче на собственные значения, полагая P (х, l) = q>n(X) С другой стороны, рассмотрите уравнение Шреди-
нгера:
ф» (X)+{?_у(Х)}ф (X) = O. Если 1F0 — основное состояние, положите в (8.7.1)
FW _орФо(*) My -zu^(X)'
Обе задачи эквивалентны, поэтому *
Фп(*)=<М*)ф».(Х). K = (En-Ett)D. (8.7.15)
8.8. МЕТОД ЛАНЖЕВЕНА
Альтернативное рассмотрение броуновского движения было предпринято Ланжевеном **. Частица подчиняется уравнению движения
V = — yV + L(t). (8.8.1)
Правая часть представляет собой силу, действующую со стороны жидкости (и для удобства деленную на массу частицы УИ). В связи с этим сделаем три физически различных предположения:
1. Сила состоит из линейного по V члена, представляющего затухание плюс член L (t), не зависящий от состояния V частицы.
2. Член, описывающий затухание, является также средней силой, причем
_ <?(*)> = 0. (8.8.2)
* Н. Risken and Н. D. Vollmer, Z. Phys., 204, 240 (1967). ** P. Langevin, CompesRendus de FAcademie des Sciences (Paris), 146,530 (1908). Вычисление, приведенное здесь, основано на работе: G, Е. Uhlenbeck and L. S. Ornstein, Phys. Rev . 36, 823 (1930), reprinted in Wax.
219-Среднее берется по ансамблю многих систем, каждая из которых состоит из частицы, погруженной в окружающую ее жидкость. На практике это означает усреднение по большому числу броуновских частиц, находящихся в одной и той же жидкости, либо усреднение по последовательным наблюдениям одной и той же частицы при условии, что они достаточно отделены, чтобы не влиять друг на друга.
3. Сила L считается быстро меняющейся во времени, что описывается выражением