Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
А(У)==2W(y)^Pe{y)B(y)- (8110)
В этом случае уравнение можио записать в следующем виде:
ЭР (У. 0_1, * р< (и)В(и) д Р(у- ,S 1 IlV
dt - hdyH (У) (У) dy Pe (у) ¦ (8.1.11)
8.2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА — ПЛАНКА
Планк вывел уравнение Фоккера — Планка как аппроксимацию основного кинетического уравнения (5.1.5) следующим образом. Сначала выразим вероятность перехода W как функцию скачка г и
* S. R. de Groot and N. G. van Kampen, Physica, 21, 39 (1954).
199- начальной точки:
W(y\y') = W(y', г), г = у-у'. (8.2.1)
Тогда общий вид основного кинетического уравнения (5.1.5) таков:
r)P{y-r, t)dr-P(y t)^W(y -r) dr.
(8.2.2)
Основное предположение состоит в том, что имеют место только малые скачки, т. е. W(y'\ г) является функцией, имеющей острый пик по переменной г, но медленно меняется с изменением у, или, говоря более точно, существует некоторая величина б > 0 такая, что
W(y'\ r)f& 0 для |г| >6, (8.2.3а)
W',/ + Ay, r)9aW{y'\ г) для \Ау\ ; 0. (8.2.36)
Второе предположение состоит в том, что интересующее нас решение P (у, t) также медленно меняется с изменением у (в том же смысле, что и (8.2.36)). Тогда можно выполнить сдвиг из у в у—г в первом интеграле (8.2.2) с помощью разложения Тейлора до второго порядка:
г) P (у, t)dy-^r^[W(y, г) P (у; t)}dr + + Г)Р{У' *>}dr-/>(«/, -r)dr.
Отметим, что зависимость W (у, г) от своего второго аргумента г полностью сохраняется; разложение по этому аргументу недопустимо,, поскольку W быстро меняется по г. Первый и четвертый члены сокращаются. Другие два члена можно записать с помощью моментов перехода
X
аАУ)= $ rvW(y, r)dr, (8.2.4)
- ф
уже определенных в (5.8.2). Результат имеет вид
= - ^ {а, (У) Р\ + у |г К (У) Pj- (8.2.5)
Таким образом, мы вывели уравнение Фоккера—Планка (8.1.1) из основного кинетического уравнения и одновременно выразили коэффициенты через вероятности перехода W. Эти выражения с точностью до обозначений совпали с (8.1.6).
Примечание. Совсем не трудно включить все члены разложения Тейлора в (8.2.2):
200- Это так называемое разложение Крамерса—Мойала*. Уравнение (8.2.6) формально совпадает с основным кинетическим уравнением и поэтому не дает упрощений; подразумевается, однако, что его можно оборвать, оставив некоторое подходящее количество членов. Приближение Фоккера—Планка предполагает, что все члены после X = 2 пренебрежимы. Колмогоровское доказательство основано на предположении, что av = 0 для v > 2. Однако это предположение для физических систем не выполняется**. В следующей главе мы расположим основное кинетическое уравнение систематическим образом по степеням малого параметра и найдем, что не существует простого соответствия между последовательными порядками и последовательными членами разложения Крамерса—Мойала.
Упражнение. Для процесса распада, рассмотренного в § 4.6, постройте уравнение Фоккера — Планка, используя (8.1.6). Покажите, что оно правильно дает первый и второй моменты, но не для Ps. Упражнение. Постройте уравнение Фоккера — Планка для симметричного случайного блуждания и выведите из него (6.2.12). Упражнение. Найдите высшие av для случайного блуждания и заметьте, что они не малы. Почему, несмотря на это, уравнение Фоккера — Планка дает правильный результат (6.2.12)? Упражнение. Частица на большой скорости пересекает среду, в которой сталкивается со случайно расположенными рассеивателями, которые ее слегка отклоняют с дифференциальным сбченнем ст (0). Найдите уравнение Фоккера— Планка для полного отклонения, предполагая его малым. Упражнение. Выведите из (8.2.5) соотношения
dt <у> = <<*i (у)>, dt «у2» = 2 <(у—<у» O1 (у)у -г <а2 (у)}. (8.2.7)
Покажите также, что они являются точными следствиями основного кинетического уравнения. Отметим, что аналогичные соотношения для высших моментов уже не удается правильно воспроизвести с помощью уравнения Фоккера — Планка (ср. с § 5.8). Упражнение. Рассмотрите процесс с независимыми приращениями, определенными в (4.4.7). Его основное кинетическое уравнение решено в упражнении § 5.1. Исследуйте, как модифицируется общее решение в приближении Фоккера — Планка. Покажите, что для P (у, t \ у0, t0) это приближение является плохим, когда t —10 < aja\, из-за того, что второе предположение, приведенное выше, не выполняется.
Уравнение Фоккера — Планка станет не приближенным, а точным, если коэффициенты в W будут зависеть от параметра є таким образом, чтобы сделанные предположения были точными в пределе є —О [1, р. 333]. Мы продемонстрируем этот подход на асимметричном случайном блуждании, которое описывается основным кинетическим уравнением (6.2.13) в виде
Pn = а (Pn+1—Pn) + ? (Pn-i—Pn)- (8.2.8)
Сначала выберем масштаб шагов, полагая гп = p„(t) = гР (х, t).
Это приведет к тому, что весь процесс вмещается в малый интервал X и, для того чтобы компенсировать малость шагов, нужно
* J. Е. Moyal, J. Roy. Statist. Soc. (В), 11, 150 (1949).
** N. G. van Kampen in: Thermodynamics and Kinetics of Biological Systems (A. I. Zotin ed., W. de Gruyter, Berlin, 1981).
