Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
дР(у, Q dJ (у, t) f8 j 2)
dt ду ' * ' ' '
где J(у, t) — поток вероятности. Второе уравнение является «основным»: Ну, t)~ а (у) р—1I2-^ в (у) р. (8.1.3)
Уравнение Фоккера — Планка (7.1.1) называют также уравнением Смолуховского, вторым уравнением Колмогорова или обобщенным уравнением диффузии. Первый член в правой части уравнения (8.1.1) называется переносным, конвективным или дрейфовым, а второй —
* N Ci. van Kampen, Phys. Letters, 76A, 104 (1980).
195- диффузионным или флуктуационным. Конечно, эти названия не должны предрешать заранее их физическую интерпретацию. Некоторые авторы различают уравнение Фоккера — Планка и основное кинетическое уравнение, употребляя последнее название только для дискретных процессов, таких, как одношаговые процессы.
Пусть для t ^t1 P (у, t) I уи ^1J-такое решение уравнения (8.1.1), что при t = t1 оно сводится к б (у—Iz1). В соответствии с (4.2.2) можно построить марковский процесс с вероятностью перехода Р(у-г, h IУи t\), У которого единовременное распределение P1 (уи Z1) можно выбрать произвольно в один начальный момент времени /„. Если выбрать для P1 стационарное решение уравнения (7.1.1)
у
ns , , const
о
(8.1.4)
то получающийся марковский процесс является стационарным. Для того чтобы функция Ps могла представлять распределение вероятности, она должна быть нормирована, однако это возможно только тогда, когда Ps интегрируема.
Марковские процессы, у которых основное кинетическое уравнение имеет вид (8.1.1), называют непрерывными, поскольку можно доказать, что их выборочные функции непрерывны (с вероятностью 1). Это название иногда приводит к неправильной мысли, что все процессы с непрерывной областью возможных значений относятся к этому типу и, следовательно, должны удовлетворять уравнению (8.1.1).
По определению, уравнение Фоккера — Планка всегда линейно по Р*. Поэтому прилагательное «линейное» можно использовать в разных смыслах. Мы будем называть уравнение Фоккера — Планке (8.1.1) линейным, если А—линейная функция у и S = Constii
Если A1 <0, то стационарное решение (8.1.4) гауссово. Действительно, в этом случае с помощью сдвига и изменения масштаба переменной у уравнение (8.1.5) можно свести к (4.3.20) и таким образом прийти к выводу, что стационарный марковский процесс, определяемый линейным уравнением Фоккера — Планка, является процессом Орнштейна — Уленбека. При A1 ^O стационарного распределения вероятности не существует.
Упражнение. Пусть P (у, t | у„, /<,) — решение уравнения (8.1.1) Возьмем t =¦-= tB-\-b.t и вычислим моменты величины у—= при малых Дt. Покажите, что при Д/ --»-О
где va3.
* Уравнение Ландау в теории плазмы является нелинейным вариантом, но там P представляет собой плотность частиц, а не вероятность.
196- Упражнение. Найдите сингулярное ядро W(y|y'), соответствующее дифференциальному оператору в уравнении (8.1.1). Вычислите его моменты переходов (5.8.2) и сравните результаты с (8.1.6). Упражнение. Покажите, что дифференциальный оператор в (8.1.1) обладает свойствами W-матриц: он сохраняет вероятность и положительность. Покажите также, что при В (у) у 0 он иеприводим и все решения стремятся к стационарному решению (8.1.4) (при условии, что решение нормируемо). Упражнение. Покажите, что любой линейный дифференциальный оператор второго порядка, обладающий этими свойствами, перечисленными в предыдущем упражнении, должен иметь вид (8.1.1). Упражнение. Решите уравнение (8.1.1) при В (у) = 2, А (у) =—y+l/y, у > О,
а также при S= const #2*. Упражнение. Найдите явное решение уравнения (8.1.5).
Мы ввели уравнение Фоккера — Планка как частный вид основного кинетического уравнения. Однако в основном его используют для приближенного описания произвольного марковского процесса Y (/), у которого отдельные переходы (скачки) невелики. В этом смысле линейное уравнение Фоккера — Планка использовалось в частных случаях Рэлеем**, Эйнштейном***, Смолуховским **** и Фоккером *****.
Затем Планк ****** из произвольного основного кинетического уравнения вывел общее нелинейное уравнение Фоккера—Планка, предположив только, что скачки малы. И наконец, Колмого-ров ******* дал математически строгий вывод этого уравнения, перейдя к пределу бесконечно малых скачков.
В качестве приближенной замены основного кинетического уравнения общего вида (5.1.5) уравнение Фоккера — Планка обладает двумя привлекательными чертами. Во-первых, оно является дифференциальным, а не дифференциально-интегральным уравнением.
Хотя его и не удается решить явно, кроме некоторых частных случаев, оно все равно проще в обращении. Вторая особеиност: более важна, она состоит в том, что нам не нужно знать полное ядро W (у\у'), а достаточно знания функций А (у) и В (у). Для любого подлинно стохастического процесса эти функции можно найти зная лишь минимум о механизме, лежащем в основе этого процесса. Сделать это можно следующим образом. Предположим, что физика некоторой системы подсказывает нам, что величина у приближенно должна быть марковским процессом. Время Дг1 выбираем настолько
