Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
00 ' TS Tj Tj
P (г, t) = Y (t) + 2 S dT, 5 <1ту_1 5 dT,_2 ..AdT1
s~1 о о о о
хг(/-т,)х(т,-т,_1)х(т,_1-т,_2) . . .x(t1)
Теперь введем преобразование
V)
$е-ЧР(г, t) At = P [г, X). о
Тогда свертки в (7.7.8) превращаются в произведения:
Z5 (г, 0). (7.7.8)
Р(г, X) =
П*)+ I1Y(X) {*(*)}'
S = 1
Р(г, 0) = ^)(1-^(?)}-^^, 0).
(7.7.9)
Решение (7.7.4) имеет вид
С + І оо
Р(Г><У-Ш S ett^ W {1-^W}-1 ^-Zj(FfO)f (7.7.10)
С— І OO
где с выбирается правее всех сингулярностей подынтегральной функции.
Приложение. В качестве модели двухступенчатой диффузии возьмем і = 1, 2 и F,-, как в (7.7.1). Тогда Yi1Z = Va н Va, г = Vi-. Для вычисления сечения рассеяния иейтроиов необходимо знать плотность вероятности Gs (г, t) того, что молекула при t =0, находившаяся в точке г = 0, в момент времени t окажется в точке с координатами г. Дифференциальное сеченне рассеяния является ее преобразованием Фурье по пространству и по времени. Удобно применить преобразование Фурье по пространственным переменным непосредственно к (7.7.4), так что оба оператора Fj сводятся к множителям
Тогда имеем
X
F, = —D/A2.
CC
V/, J
>.+7,4- Djk* '
Ki
k2 ¦
И наконец, в качестве начального состояния берем дельта-функцию при г = 0:
Pi (k, 0) = <2я)
где gi является равновесным распределением уровня і. Подстановка в (7.7.9) дает
\P2(k,X)J Vo YltJl-XiiXti
1 —X
12 U (2„)-»
193 Поскольку рассеяние нейтронов не отличается для молекул, находящихся на разных уровнях, то интересно узнать плотность вероятности в пространстве Gs (г, Oes Л (г, t) + P2{r, t). Ее преобразование Фурье —Лапласа
Gs (k, A.) = Д (к, X) +А (к, К) = giyii+g»y»»-giy»*«-g«y"X» =
' v ' ' (2л)3 (1 — ХцХ21)
_ Ь + gjYa + gaVi + (giD-г + giDi) кг—glVl — g2y2
(2я)» {(? + Vi+ 0^)(^ + 7.+01*1)-YiTtJ ' I'-'-11J
Реально наблюдается величина
Gs(k, со) = Gs (к, і со) + Gs (к,-ico). (7.7.12)
Упражнение. Докажите (7.7.12).
Упражнение. Покажите, что ffi = 72 (Yi+- Y2)g2 = Yi (Yi +Тг)"1-Упражнение. Поведение Gs (г, t) при больших t определяется полюсом выражения (7.7.10) с наибольшей действительной частью. В связи с этим покажите, что Gs (г, t) при больших t удовлетворяет уравнению диффузии с перенормированным коэффициентом диффузии D' ^g1D1 jTgzD2- Насколько-большим должно быть t? Упражнение. Решите таким же способом модель хроматографии, заданную выражением (7.7.3). Покажите, что средняя дрейфовая скоростть есть v' ^g1V.
Упражнение. Формализм настоящего раздела можно также применять для ответа на следующий вопрос. Предположим, имеется простой марковский процесс с постояными вероятностями перехода
P/ = 2(T'7P/-V/,P/)- (7.7.13)
/
Найдите распределение вероятности времени, которое система проводит в заданном состоянии к (в течение интервала времени от 0 до t). Покажите, как характеристическая функция этого распределения получается из (7.7.10), если положить Fft = ia>, а все остальные Fy — равными нулю. Как это связано с (5.3.6)? Упражнение. Покажите, как решение задачи в предыдущем упражнении'можно использовать для того, чтобы получить решение хроматографической задачи.
Упражнение. Для процесса, определенного в связи с (2.1.8), выведите для > 0 формулу
'¦«¦»-НІ 7?^
- і ю
Покажите также что
М*і, 'а, - М = /і(Ші('а-'і) ¦¦¦/iU»->«-i)-Упражнение. Решение обычного основного кинетического уравнения для несоставных марковских процессов, таких, как (5.1.5), можно также записать как сумму цо реализации. По аналогии с (7.7.10) результат имеет вид
с + іоо
Р(У, t/Уо. 0) = 55 \ е<4> (X) {1-Х (*)}-! d*,.
С — І 00
Получите эту формулу непосредственно и покажите, что полюсы в ней являются собственными значениями W. Это формулировка марковских процессов с помощью интегралов по траекториям.
194- Упражнение. Пусть Y (t)—дискретный марковский процесс со значениями yt и основным кинетическим уравнением (7.7.13). Пусть G ([?])—его производящий функционал (3.4.4). Покажите, что G можно найти, решив уравнение
*/ = 2 (Vi, Jx ~Vy1 ix,) + ik (t) у,Xi і
с соответствующим начальным условием, а затем положив *
ГЛАВА 8
УРАВНЕНИЯ ФОККЕРА —ПЛАНКА И ЛАНЖЕВЕНА
Уравнение Фоккера—Планка является частным случаем основного кинетического уравнения и часто используется как его приближенная форма. Уравнение Ланжевена отличается от уравнения Фоккера— Планка, но математически эквивалентно ему. Оба уравнения оказываются полезными в линейных задачах, хотя для нелинейных систем их использование наталкивается на некоторые трудности.
8.1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнение Фоккера — Планка является частным случаем основного кинетического уравнения, в котором W представляет собой оператор второго порядка, а именно
+ (8.1.1)
Область возможных значений переменной у обязательно непрерывна, и здесь мы будем считать ее бесконечной (—оо, 4 оо). Коэффициенты А (у) и В (у) могут быть любыми действительными дифференцируемыми функциями с единственным ограничением В(у)>0- Уравнение (8.1.1) можно разбить на два. Первое представляет собой уравнение непрерывности для плотности вероятности
