Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кампен Ван Н.Г. -> "Соханистические процессы в физика и химии" -> 90

Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.

Кампен Ван Н.Г. Соханистические процессы в физика и химии — неизвестно, 2000. — 375 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskie2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 159 >> Следующая


Макроскопическое уравнение, связанное с (8.5.3) имеет вид

n = -r(n) + ?(n). (8.5.4)

* R. Е. Burgess, Proc. Phys. Soc. London, В68, 661 (1955); В69, 1020 (1956); A. van der Ziel, Noise (Prentice, Englewood Cliffs, N. Y., 1954).

209- Тогда стационарное значение п определяется соотношением

r(ns) = ?(ns). (8.5.5)

Это уравнение имеет одно решение (рис. 21). Мы хотим исследовать флуктуации в стационарном состоянии. Для этого положим rt = ns + x

и подставим его в (8.5.3). Разложив коэффициенты по л: и оставив только низшие неисчезающие члены, получим

d-?SgJl = {r'{n*)-g'(n*)}*.xp+ + гЩіМЇ»г_. (8.5.6)

Рис. 21. Стационарное состояние возникает как равновесие между генерацией и рекомбинацией

2 дхг

Таким образом, наше дополнительное приближение для окрестности ns приводит к линейному уравнению Фоккера—Планка, имеющему такой же вид, как и (4.3.20) и (8.4.6). Следовательно, флуктуации в стационарном состоянии опять оказываются процессом Орнштейна — Уленбека. В § 10.4 будет показано, что приближение (8.5.6) является непротиворечивым*. Упражнение. Выведите из уравнения (8.5.6) соотношения

(г) п (t + = е -т/т»,

1/тO = г' (ns)-g' (п*),

Sn(O)) = -

То

w2to

(8.5.7)

(8.5.8)

(8.5.9) (8.5.10)

Упражнение. Покажите, что те же результаты получаются простой линеаризацией л (га) и g(n) вблизи ns. Упражнение. Покажите, что результаты (8.5.5) и (8.5.7) согласуются с явным

выражением (4.3.8) для Ps (п). Упражнение. Используя (8.5.2), запишите разложение Крамерса—Мойала для

одношаговых процессов. Упражнение. Получите уравнение Фоккера — Планка для задачи о популяции

(6.10.7) и используйте его для нахождения <n>s и <g:n2^>s. Упражнение. Сделайте то же для (6.9.12).

До сих пор приближение Фоккера—Планка формулировалось только для случаев, в которых границы отсутствовали или находились так далеко, что не нужно было о них беспокоиться. Теперь поставим вопрос о том, каким образом границы с определенными

* Численное сравнение проведено в работе: С. F. Clement and М. N. Wood, Proc. Roy. Soc. London A371, 553 (1980).

210- физическими свойствами преобразуются в граничные условия для дифференциального уравнения. В случае отражающей границы ответ ясен: поток вероятности (8.1.3) должен обращаться в нуль, как в (8.3.6):

Vi (у) P (у, t)—^~at(y)P(y, /) = 0 на границе. (8.5.11)

Однако в случае поглощающей границы ответ не очевиден. Его можно найти, используя связь с одношаговыми процессами.

Возьмем одношаговый процесс с аналитическими г (я), g (я), но с поглощающей границей при п = 0. Как отмечалось в § 6.7, это еще не позволяет однозначно определять, как г (я) и g (я) отличаются от аналитических выражений г(п) и g(n) вблизи границы. Даже если граница разная, в тех случаях, когда может измениться только Гц требование того, что граница является поглощающей, означает просто T1 > 0. Граница поглощает постольку, поскольку имеется вероятность перехода из крайнего состояния в лимбо-со-стояние.

В качестве частного случая можно выбрать T1 = T(I). Это полностью поглощающая граница, относящаяся к задачам первого прохождения (см. § 6.10). Здесь мы используем условие такого типа и поэтому в качестве отправной точки возьмем основное кинетическое уравнение в виде

pa = r{n + \)pn+1+g(n — \)pn_1 — {r(n)+g{ri)}pn (я>1), (8.5.12а) ^ = г(2)л-{г(1)-Ь?(1)}л. (8.5.126)

Сразу же ясно, что (8.5.126) можно подставить в (8.5.12а), если определить р0. (Это просто формальный прием, а р0 не совпадает с вероятностью pt, приписываемой лимбо-состоянию.) Используя это определение, мы можем объявить (8.5.12а) справедливым для всех я ^ 1 с дополнительным условием /O0 = 0.

Если теперь аппроксимировать (8.5.12а) дифференциальным уравнением, в качестве граничного условия для Р(х, t) нужно выбрать Р(0, i) = 0. Хотя мы пришли к этому заключению, использовав поглощающую границу специального вида, можно показать, что оно оказывается общим: в случае непрерывного описания все возможные поглощающие границы приводят к одному и тому же граничному условию* Р(0, /) —0.

Упражнение. Убедитесь в том, что в задаче с граничным условием (8.5.11) полная вероятность сохраняется. Упражнение. Сформулируйте задачу первого прохождения для процесса, описывающегося уравнением Фоккера — Планка, и найдите выражение для распределения вероятности времени первого прохождения, аналогичное (6.10.1). Упражнение. Сформулируйте непрерывный предел (6.10.11).

* N. G. van Kampen and I. Oppenheim, J. Mathem. Phys., 13, 842 (1972).

211- 8.6. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА В СЛУЧАЕ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Обобщение линейного уравнения Фоккера — Планка на случай, когда существует г переменных yh имеет вид

(8.6.1)

і, І і, І

где Aij- и Bij—матричные коэффициенты; матрица Bij- симметрична, a Aij, вообще говоря, нет. Целью настоящего параграфа является решение этого уравнения с начальным условием

P (У, = (8.6.2)

і

Для того чтобы его можно было использовать и дальше, мы предположим даже, что Aij- и Bij- могут зависеть от времени.
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed