Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Макроскопическое уравнение, связанное с (8.5.3) имеет вид
n = -r(n) + ?(n). (8.5.4)
* R. Е. Burgess, Proc. Phys. Soc. London, В68, 661 (1955); В69, 1020 (1956); A. van der Ziel, Noise (Prentice, Englewood Cliffs, N. Y., 1954).
209-Тогда стационарное значение п определяется соотношением
r(ns) = ?(ns). (8.5.5)
Это уравнение имеет одно решение (рис. 21). Мы хотим исследовать флуктуации в стационарном состоянии. Для этого положим rt = ns + x
и подставим его в (8.5.3). Разложив коэффициенты по л: и оставив только низшие неисчезающие члены, получим
d-?SgJl = {r'{n*)-g'(n*)}*.xp+ + гЩіМЇ»г_. (8.5.6)
Рис. 21. Стационарное состояние возникает как равновесие между генерацией и рекомбинацией
2 дхг
Таким образом, наше дополнительное приближение для окрестности ns приводит к линейному уравнению Фоккера—Планка, имеющему такой же вид, как и (4.3.20) и (8.4.6). Следовательно, флуктуации в стационарном состоянии опять оказываются процессом Орнштейна — Уленбека. В § 10.4 будет показано, что приближение (8.5.6) является непротиворечивым*. Упражнение. Выведите из уравнения (8.5.6) соотношения
(г) п (t + = е -т/т»,
1/тO = г' (ns)-g' (п*),
Sn(O)) = -
То
w2to
(8.5.7)
(8.5.8)
(8.5.9) (8.5.10)
Упражнение. Покажите, что те же результаты получаются простой линеаризацией л (га) и g(n) вблизи ns. Упражнение. Покажите, что результаты (8.5.5) и (8.5.7) согласуются с явным
выражением (4.3.8) для Ps (п). Упражнение. Используя (8.5.2), запишите разложение Крамерса—Мойала для
одношаговых процессов. Упражнение. Получите уравнение Фоккера — Планка для задачи о популяции
(6.10.7) и используйте его для нахождения <n>s и <g:n2^>s. Упражнение. Сделайте то же для (6.9.12).
До сих пор приближение Фоккера—Планка формулировалось только для случаев, в которых границы отсутствовали или находились так далеко, что не нужно было о них беспокоиться. Теперь поставим вопрос о том, каким образом границы с определенными
* Численное сравнение проведено в работе: С. F. Clement and М. N. Wood, Proc. Roy. Soc. London A371, 553 (1980).
210-физическими свойствами преобразуются в граничные условия для дифференциального уравнения. В случае отражающей границы ответ ясен: поток вероятности (8.1.3) должен обращаться в нуль, как в (8.3.6):
Vi (у) P (у, t)—^~at(y)P(y, /) = 0 на границе. (8.5.11)
Однако в случае поглощающей границы ответ не очевиден. Его можно найти, используя связь с одношаговыми процессами.
Возьмем одношаговый процесс с аналитическими г (я), g (я), но с поглощающей границей при п = 0. Как отмечалось в § 6.7, это еще не позволяет однозначно определять, как г (я) и g (я) отличаются от аналитических выражений г(п) и g(n) вблизи границы. Даже если граница разная, в тех случаях, когда может измениться только Гц требование того, что граница является поглощающей, означает просто T1 > 0. Граница поглощает постольку, поскольку имеется вероятность перехода из крайнего состояния в лимбо-со-стояние.
В качестве частного случая можно выбрать T1 = T(I). Это полностью поглощающая граница, относящаяся к задачам первого прохождения (см. § 6.10). Здесь мы используем условие такого типа и поэтому в качестве отправной точки возьмем основное кинетическое уравнение в виде
pa = r{n + \)pn+1+g(n — \)pn_1 — {r(n)+g{ri)}pn (я>1), (8.5.12а) ^ = г(2)л-{г(1)-Ь?(1)}л. (8.5.126)
Сразу же ясно, что (8.5.126) можно подставить в (8.5.12а), если определить р0. (Это просто формальный прием, а р0 не совпадает с вероятностью pt, приписываемой лимбо-состоянию.) Используя это определение, мы можем объявить (8.5.12а) справедливым для всех я ^ 1 с дополнительным условием /O0 = 0.
Если теперь аппроксимировать (8.5.12а) дифференциальным уравнением, в качестве граничного условия для Р(х, t) нужно выбрать Р(0, i) = 0. Хотя мы пришли к этому заключению, использовав поглощающую границу специального вида, можно показать, что оно оказывается общим: в случае непрерывного описания все возможные поглощающие границы приводят к одному и тому же граничному условию* Р(0, /) —0.
Упражнение. Убедитесь в том, что в задаче с граничным условием (8.5.11) полная вероятность сохраняется. Упражнение. Сформулируйте задачу первого прохождения для процесса, описывающегося уравнением Фоккера — Планка, и найдите выражение для распределения вероятности времени первого прохождения, аналогичное (6.10.1). Упражнение. Сформулируйте непрерывный предел (6.10.11).
* N. G. van Kampen and I. Oppenheim, J. Mathem. Phys., 13, 842 (1972).
211-8.6. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА В СЛУЧАЕ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Обобщение линейного уравнения Фоккера — Планка на случай, когда существует г переменных yh имеет вид
(8.6.1)
і, І і, І
где Aij- и Bij—матричные коэффициенты; матрица Bij- симметрична, a Aij, вообще говоря, нет. Целью настоящего параграфа является решение этого уравнения с начальным условием
P (У, = (8.6.2)
і
Для того чтобы его можно было использовать и дальше, мы предположим даже, что Aij- и Bij- могут зависеть от времени.