Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
* См. [6, § 4.4]. Другие решаемые уравнения Фоккера—Планка даются в работе: R. I. Cukier1 К. Lakatos-Lindenberg and К.. Е. Shuler J. Statist. Phys. 9, 137 (1973).
** Lord Rayleigh. Phil. Mag. 32, 424 (1891)-Scientific Papers III (University Press, Cambridge, 1902), p. 473.
*** A. Einstein, Ann. Physik (4), 17, 549 (1905); 19, 371 (1906).
**** N. von Smoluchowski, Ann. Physik, (4) 21, 756 (1906); Physik. Zeits., 17, 575 and 585 (1916).
***** A. D. Fokker, Thesis (Leiden 1913); Ann. Physik (4) 43, 810 (1914).
****** M. Planck, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wissens. (1917), p. 324-Physika-lische Abhandlungen und Vortrage, II (Vieweg, Braunschweig, 1958), p. 435.
******* A. Kolmogorov, Mathem. Annalen., 104, 415 (1931).
197- малым, что у в течение этого времени существенно не меняется, но все же достаточно большим для того, чтобы выполнялось предположение о марковости. Вычислим для этого короткого времени среднее изменение <Ау)у и его средний квадрат <(Ау)2>у в первом порядке по At. Согласно уравнению (6.1.6), этого достаточно, чтобы найти А (у) и В (у) и отсюда получить уравнение Фоккера—Планка. При таком рассмотрении пути истинные уравнения движения можно решить только для малого времени At, например сделать с помощью теории возмущений. Тогда поведение системы на больших временах можно определить с помощью уравнения Фоккера—Планка. Описание системы удается разделить на описание ее поведения на коротких и на больших временах, используя предположение о марковости.
Существует и другой, более феноменологический путь определения функций А и В. Из (8.1.1) имеем
dt<yy = <A(y)>. (8.1.7)
Если пренебречь флуктуациями, то А (<у>) = <А (г/)> и для дифференциального уравнения, содержащего только величину <у>, получаем
dt<y>=A«y».
Это уравнение отождествляется с макроскопическим уравнением движения системы, которое предполагается известным. Таким образом, функция А (у) определяется из наших сведений о макроскопическом поведении. Затем получаем В (у), отождествляя (8.1.4) с равновесным распределением, которое, по крайней мере для замкнутой физической системы, известно из обычной статистической механики. Таким образом, для вывода уравнения Фоккера—Планка и, следовательно, для вычисления флуктуации достаточно знать макроскопический закон и равновесную статистическую механику.
Эйнштейн и другие с большим успехом использовали это феноменологическое определение функций А я В (см. § 8.3), но только для линейных уравнений Фоккера — Планка. Если макроскопический закон нелинеен, то, как впервые отметил Макдональд*, возникают трудности.
Недостаток аргументов заключается в отождествлении коэффициента А (у) с макроскопической зависимостью, хотя они вполне могут отличаться на член, имеющий тот же порядок величины, что и флуктуации: как только мы пренебрегаем флуктуациями, этот член в любом случае пропадает. Вследствие этого разные авторы получали разные, но одинаково правдоподобные выражения для шума в нелинейных системах. Эта трудность обусловила развитие более фундаментального подхода, излагаемого в следующей главе. Однако в настоящей главе мы ограничимся традиционным рассмотрением.
* Phil. Mag. 45, 63, and 345 (1954); Phys. Rev. 108, 541 (1957). Подробнее см. в кн.: N. G. van Kampen in: Fluctuatin Phenomena in Solids (R. E. Burgess ed., Acad. Press, New York, 1965).
198- Мы будем тщательно следить за тем, чтобы оставаться в пределах применимости, хотя эти пределы станут понятными лишь в следующей главе. Если у читателя возникнут какие-либо сомнения, советуем ему отложить их на потом.
В § 8.8 дано приближение Ланжевена. Математически оно эквивалентно приближению Фоккера — Планка, но используется в физике даже более широко, поскольку сформулировано на более привычном языке. Однако в нелинейных случаях оно наталкивается на те же самые и даже на некоторые дополнительные трудности; они составляют предмет § 8.9.
Упражнение. Вычислите величины (8.1.6) для случайного блуждания (6.2.1) и постройте уравнение Фоккера—Планка. Покажите, что асимптотическое распределение (6.2.12) удовлетворяет этому уравнению. Упражнение. Тот же самый вопрос для асимметричного случайного блуждания (6.2.13).
Упражнение. В ЯС-цепи с неомическим сопротивлением уравнение Фоккера — Планка для напряжения U в соответствии с изложенными выше феноменологическими аргументами имеет вид
дР(У, д у і а»
dt "OVCtf(V) + 2dVa{V}H' (8.1.8а>
B(V):
СУ'ЦгкТ)
(8.1.86)
Смотрите, однако, обсуждение в § 8.9.
Упражнение. Примените к уравнению (8.1.1) нелинейное преобразование у=ф(у) и покажите, что преобразованная плотность P (у, t) подчиняется уравнению Фоккера — Планка с коэффициентами
В(у) = {Ф'(у)уВ(у), А(у) = Ф'(у)А(у) + 1/2Ф"(у)В(у). (8.1.9)
Упражнение. Критерий (5.6.1) детального равновесия нельзя применить к уравнению (8.1.1), но его эквивалентная формулировка (5.7.5) пригодна для дифференциальных операторов основного кинетического уравнения *. Покажите, что (8.1.!-^-удовлетворяет соотношению детального равновесия тогда и только тогда, когда
