Несколько вероятностных задач физики и математики - Кац М.
Скачать (прямая ссылка):
В случае броуновского движения, о котором мы еще будем говорить ниже, оператор столкновения является значительно более простым. В этом случае он является просто оператором диффузии. Нетрудно понять, как в этом случае вводится поток, а поскольку для броуновского движения все обстоит хорошо, все должно быть хорошо также и для случая аналогичного уравнения с несколько более сложным оператором столкновения. Дело теперь идет о строгом выводе уравнения (61) из хорошо определенной стохастической модели. Было бы очень
61
важно дать такой вывод, но поскольку я не знаю, как это сделать, я займусь случаем пространственно-однородного газа.
Я покажу вам, как можно, исходя Статистический из очень простой стохастической подход модели, рассматривавшейся уже
Больцманом, вывести уравнение (62). Самым любопытным при этом будет то, что основное уравнение, какое мы собираемся выписать— М-уравнение, — является линейным. Но из него легко получить нелинейное уравнение (62). Действительно, как вы увидите, эта нелинейность является, в некотором смысле, кажущейся. Уравнение только выглядит как нелинейное. Нас интересует, нет ли случайно еще уравнений такого рода — уравнений, кажущихся нелинейными.
Я хотел бы теперь изложить вам чисто статистический подход к проблеме пространственно-однородного газа, не находящегося в термическом равновесии. Мы имеем п частиц; обозначим их скорости через u1, V21..., vn. Поскольку энергия переходит от одной частицы к другой только посредством упругих столкновений, кинетическая энергия все время остается постоянной, ибо при столкновениях энергия сохраняется. Поэтому 2I мы можем написать:
—Н:
J причем предположим, что
E = по2. В этом равенстве Рис. 2. уже коренится некоторое
допущение. Оно означает, что мы (грубо говоря) предполагаем постоянство энергии, приходящейся на одну частицу. Заметим, что если мы примем во внимание три координаты каждой скорости, то уравнение (63) представит Зтг-мер-ную сферу. Нарисуем ее как круг с радиусом YE (рис. 2). Точка на этой сфере однозначно определяет состояние рассматриваемой системы, так как в этом
62
случае оно зависит только от скорости. Мы должны теперь проанализировать, что происходит с точкой на этой сфере. В течение большей части времени с ней ничего не произойдет; но в некоторый момент (очень редко) наступит столкновение между двумя частицами, которое изменит их состояние. Соберем все скорости в «очень большой» вектор, а именно Зтг-мерный вектор:
R
Большую часть времени вектор R просто будет равен самому себе, т. е. ничего происходить не будет. Иногда же R перейдет в R' в результате столкновения между двумя частицами. Они могут сталкиваться разными способами, так что в действительности вектор R' представляет только одну из возможностей. Преобразование R -> R' может быть очень сложным.
Попробуем теперь рассчитать вероятность перехода R -> R'. Вычислим вероятность столкновения і-и частицы с /-Й частицей (і <^ /) в течение времени dt, причем это столкновение должно быть таким, чтобы линия, соединяющая центры соударяющихсд шаров, имела направление /, содержащееся внутри телесного угла dl. Этот расчет хорошо известен еще со времен Больцмана. Я не видел записей лекций проф. Дрездена, но, несомненно, он рисовал вам так называемый цилиндр соударений, так как читая лекции об уравнении Больцмана, нельзя не пользоваться цилиндром соударений. Я не хочу утомлять вас деталями; все, что надо сделать, это подсчитать объем упомянутого цилиндра и разделить на полный объем V. Имеем
Ту dl dt = ? dl dt (64)
Заметим, что выражение | (Vj — V1) I \ — (i?;- — V1) I равно либо нулю, либо просто 2 | (v- — / | . Это
63
соответствует тому случаю, когда скорости не ориентированы соответствующим образом и, следовательно, столкновение не происходит. Проф. Дрезден, вероятно, писал это выражение как cos 0. Стоит упомянуть, что Больцман не интерпретировал его как вероятность. Он просто утверждал, что после его умножения на N1 и Nj мы получаем действительное число происшедших столкновений. В принципе это, однако, вероятность. В самом деле, что мы делаем? Ясно, что для того, чтобы наступило соударение, частица должна находиться в своем цилиндре соударений. Поскольку мы предполагаем при этом, что пространственное распределение является равномерным, отношение объема цилиндра соударений к полному объему газа равно как раз вероятности столкновения.
Заметим, что я сделал в точности то же самое, что и с прежней моделью. Я предположил, что переход может наступить, и вычислил вероятность этого элементарного события. Заметим также, что мы даже произвели усреднение, а именно, при вычислении вероятности (64). Я хотел бы теперь вычислить вероятность того, что в течение времени dt не наступит никакого столкновения. Прежде всего, проинтегрируем по dl с целью нахождения вероятности столкновения между і-й и /-й частицами, безотносительно к положению линии, соединяющей центры частиц. Если мы просуммируем это по всем парам частиц, то получим вероятность столкновения между какой-нибудь парой:
